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1、汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1 2017 届学科网高三数学 33 个黄金考点总动员 考点 17 平面向量的应用 【考点剖析】 1.1.最新考试说明：最新考试说明： 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 2.2.命题方向预测：命题方向预测： 预计 2017 年高考仍将对向量的长度和角度进行重点考查，题型延续选择题或填空题形式，分值为 4 到 5 分，运用向量的数量积处理其他数学问题是一种新的趋势，复习时需加以关注. 3.3.课本结论总结：课本结论总结： 解决向量的长度与夹角问题时要借助于公式，对于 2 2 |aa cos,
2、 | a b a b a b 这个公式的变形应用要做到熟练，求向量的夹角时要注意角的取值范围.|cos,a ba ba b 4.4.名师二级结论：名师二级结论： 向量知识拓展了解析几何的命题空间，更新了解决解析几何问题的方法，在处理直线与圆锥曲线相交的问 题时，在解题过程中要注意将向量给出的条件转化为向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来，由 韦达定理建立起关系式，. 5.5.课本经典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版必修 4 第 109 页，例 1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图， ，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ACABAD DBAB
3、AD 【解析】不妨设，则，ABa ADb ACab DBab ，同理， 222 |() () |2|ACAC ACababaa bb 222 |2|DBaa bb +得，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条 22 2222 |2()2(| )ACDBabABDB 邻边平方和的两倍. 【经典理由】通过例题，给出了利用平面向量的数量积处理平面几何问题的一般技巧. 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 2 (2)新课标 A 版必修 4 第 5 页，思考 余弦定理的证明. 【解析】如图，设，那么，CBa CAb ABc cab ，所以， 22 222 | |() ()22coscc cab
4、ababa bababC 222 2coscababC 同理可以证明：，得证 222 2cosabcbcC 222 2cosbcacaC 【经典理由】给出了向量的运用，利用平面向量的数量积证明余弦定理，以此发散，可引申处理向量模长 的常见方法就是利用平面向量的数量积. 6.6.考点交汇展示：考点交汇展示： (1)(1)向量与平面几何最值相结合向量与平面几何最值相结合 【2016 高考四川文科】已知正三角形 ABC 的边长为32，平面 ABC 内的动点 P，M 满足1AP uu u r ， PMMC uuu ruuu r ，则 2 BM uuu r 的最大值是( ) (A) 4 43 (B) 4
5、 49 (C) 4 3637 (D) 4 33237 【答案】B 【解析】甴已知易得1220 , DAADCADBDDBDCBC .以D为原点，直线 DA为x轴建立平面直角坐标系，则 2,0 ,1,3 ,1,3 .ABC设,P xy由已知1AP ， 得 2 2 21xy，又 1313 3 , 2222 xyxy PMMCMBM 2 2 2 13 3 4 xy BM ，它表示圆 2 2 21xy 上点 .x y 与点 1,3 3 距离平方的 1 4 ， 2 2 2 2 max 149 33 31 44 BM ，故选 B. 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 3 (2)(2)向量与三角
6、恒等变形相结合向量与三角恒等变形相结合 设向量a ak，则(a aka ak+1)的值为 .(cos,sincos)(0,1,2,12) 666 kkk k 11 0k A 【答案】9 3 【解析】 a aka ak+1A (1)(1)(1) (cos,sincos) (cos,sincos) 666666 kkkkkk (1)(1)(1) coscos(sincos) (sincos) 666666 kkkkkk (1)(1)(1)(1)(1) (coscossinsin)(sincoscossin)coscos 6666666666 kkkkkkkkkk 2 2(1)3231 cossin
7、coscossincoscossin 66662626266 kkkkkkk 3231 sin(1cos)sin 264343 kkk 3 321(21) sincos 4626 kk 因为的周期皆为，一个周期的和皆为零， 21(21) sincos 626 kk ， 6 因此(a aka ak+1). 11 0k A 3 3 129 3 4 【考点分类】 热点 1 向量与三角形相联系 1.【百强校】2016 届辽宁省大连市八中高三 12 月月考】已知点P为ABC所在平面内一点，边AB的 中点为D，若2(1)PDPACB ，其中R，则P点一定在（ ） AAB边所在的直线上 BBC边所在的直线上
8、 CAC边所在的直线上 DABC的内部 【答案】C 【解析】由2(1)PDPACB 得2()PACBPAPDCBPAPBPA CBBP CP ，所以,P C A共线故选 C 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 4 2.在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 区域（含边界）xOy)2 , 3(),3 , 2(),1 , 1 (CBA),(yxPABC 上. （1）若，求；0PAPBPC OP （2）设，用表示，并求的最大值.),(RnmACnABmOPyx,nmnm 【答案】（1）；（2）， .2 2mnyx1 【解析】（1），0PAPBPC ()()()0OAOPOBOPOCOP
9、即得，. 1 ()(2,2) 3 OPOAOBOC | 2 2OP （2），即，OPmABnAC ( , )(2 ,2)x ymnmn 2 2 xmn ymn 两式相减得：，mnyx 令，由图可知，当直线过点时， 取得最大值 1，故的最大值为 .yxtyxt(2,3)Btmn1 x y 1234512345 1 2 3 1 2 3 O 【解题技巧】 向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算：由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量 的数量积来解决，因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度、平面内的两点距离、两个向量的夹 角、判断两向量是否垂直. 【方法规律】 向量的应用是向量的概
10、念和运算的归宿，是学习向量的最终目的，因此领悟向量方法，熟练掌握向量方法， 主动利用向量方法求解数学问题十分必要. 1.用向量方法解决平面几何问题的技巧 建立恰当的坐标系，把几何图形的有关点、线与向量联系起来，将几何问题转化为代数运算和向量运算， 从而使问题得到解决，恰当建立坐标系是关键，它关系到运算是否简捷. 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 5 2.如何求解向量与函数的综合问题 借助向量的坐标表示，将已知条件代数化，并转化为函数问题，在某种意义上向量在这类问题中起装饰作 用，求解过程中能用函数的性质的要尽可能地利用函数的性质. 例如第 2 题，选择以所在直线为轴，中垂线所在直
11、线为轴建立坐标系，从而可将问题等价于ABxABy 一个不等式恒成立的问题，运用二次函数与二次方程的相关性质即可求解. 热点 2 向量与解析几何相联系 1.已知 M（）是双曲线 C：上的一点，是C上的两个焦点，若， 00 ,xy 2 2 1 2 x y 12 ,F F 12 0MFMF 则的取值范围是( ) 0 y （A）（-，） （B）（-，） 3 3 3 3 3 6 3 6 （C）（，） （D）（，） 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 【答案】A 【解析】由题知，所以= 12 (3,0),( 3,0)FF 2 2 0 0 1 2 x y 12 MFMF =，解得，故选 A. 0
12、000 (3,) ( 3,)xyxy 222 000 3310xyy 0 33 33 y 2.【百强校】2017 届湖南长沙长郡中学高三入学考试】已知点(1,0)M，,A B是椭圆 2 2 1 4 x y上的动 点，且0MA MB ，则MA BA 的取值范围是（ ） A 2 ,1 3 B1,9 C 2 ,9 3 D 6 ,3 3 【答案】C 【解析】设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 11221212 (1,),(1,),(,)MAxyMBxyBAxxyy ，由题意有 1212 (1)(1)0MA MBxxy y ，所以 2 1121121112112 (1)()()(1)(1)MA BAxxxy yyxxxxyy y 2222 111121211111 1 (1)(1)(1)11 4 xxyxxy yxxxxx 22 1111 3342 22(), 2,2 4433 xxxx 汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 6 所以，当2x 时，MA BA 有最大值9，当 4 3 x 时，MA BA 有最小值 2 3 ，故选 C. 【方法规律】 如何利用向量的几何表示三角形的各种心 向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论 如下： 为的重心，特别地为的重心； 1( ) 3 PGPAPBPC
