《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第5课计数原理与排列、组合

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1、第 5 课 计数原理与排列、组合 一、教学目标 1、理解分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题； 2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题； 3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题 二、基础知识回顾与梳理 1、分类计数原理：完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第n 1 m 2 类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事 2 mn n m 共有种不同的方法。又称_加法_原理。 12n Nmmm 分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第 1

2、步有种不同的方法，做第n 1 m 2 步有种不同的方法做第步办法有种不同的方法，那么完成这件事共有 2 mn n m 种不同的方法。又称_乘法_原理。 12n Nmmm 【提问提问】：分类计数原理的“类”分步计数原理“步”之间关系是怎样的？ 分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数 原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步计数原理针对“分步” 问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成 这件事 2、排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素” ，二是“按照一定顺序”排列。区分 某一问题是排列问题还是组

3、合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两 个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。 3、排列数(1)(2)(1) m n An nnnm (1)(2)(1)()3 2 1 ()(1)3 2 1 n nnnmnm nm nm ! ()! n nm ),(nmNmn 且 组合数： (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am ! !()! n m nm ),(nmNmn 且 排列数和组合数之间的关系： m n A m n C m m A 【分析与点评】主要是帮助学生复习组合数公式、组合数与排列数之间的关系教学中要 强调计算可以理解为先计算

4、从个元素中取个元素的组合数，再将这个元素 m n Anm m n Cm 进行排列得，运用分步计数原理得到 m m A mmm nnm ACA 三、诊断练习 1、教学处理：课前由学生自主完成 5 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记 栏课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误教学中，充分进行讨论 和交流，主要是发现学生公式、性质的记忆的错误，暴露学生求解简单排列组合问题时方 法上的失误，特别要关注学生理解“分类和分步”的不足，并通过讨论、点评纠正错误 2、诊断练习点评 题题 1 1：有不同的外语书 5 本，不同的数学书 4 本，不同的物理书 3 本 （1）从中任取一本，有 种不

5、同的取法； （2）若取外语、数学、物理各一本，有 种不同的取法 【分析与点评】此题考查的是分类计数原理与分步计数原理直接运用 第（1）问是分类；第（2）问是分步教学中要通过（1） ， （2）两问的比较使得学生“分 类”和“分步”的本质区别，强调“做一件事”和“完成”的数学意义，第（1）问中，取 一本书，无论取的是那一种，这件事都完成，所以是分类；第（2）问，若先取一本数学书， 这件事并没有完成，再取一本外语数，这件事还没有完成，必须再取一本物理书，这件事 才完成，所以是分步学生往往凭感觉，觉得太简单，其实没有真正理解“加” 、 “乘”这 两种运算的本质 题题 2：从 5 名男生和 2 名女生中

6、选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有 _ 种 【分析与点评】本题属于组合问题，只取不排。可以分类来解，即有一个女生和有两个女 生两种情况，注意做到不重不漏。也可以从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，共有 结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有用所有的结果 3 7 C 3 5 C 是减去不合题意的数字，得到结果,即间接法。 思考：对吗？为什么？遇到至少有一的问题一般怎么解决？有几种方法？ 1 6 1 2C C 题题 3 3：以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有_个 思路分析 正五棱柱共有 10 个顶点，若每四个顶点构成一个四面体， 共可构成

7、C210 个四面体其中四点在同一平面内的有三类： 4 10 (1)每一底面的五点中选四点的组合方法有 2C 个 4 5 (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有 C 个 2 5 (3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如 ABE1C1)，这样共面的四点共有 2C 个 1 5 所以 C2C C 2C 180(个) 4 104 52 51 5 答案 180 3、要点归纳 （1）对排列、组合概念的理解要抓住“有序”还是“无序” ，或理解为取出的个元素顺m 序不同则结果不同就是排列，与顺序无关则为组合； （2）对于有附加条件的排列组合问题一般从三个方面入手：以元素为主考虑，先满足特 殊元

8、素的要求，再考虑其它元素；以位置为主考虑，先满足特殊位置的要求，再考虑其 它位置；先不考虑特殊条件，求出所有排列数或组合数，从中减去不符合条件的排列或 组合数 （3）处理排列、组合问题最常用的方法就是分类，即把各种符合条件的所有可能的情况全 部列举，再把各种情况的结果求和 四、范例导析 例 1：已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的点(a，bM)，问： (1) P可表示平面上多少个不同的点？ (2) P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3) P可表示多少个不在直线yx上的点？ 【教学处理】第（1） 、 （2）问由学生直接完成，并将结果进行交流；第（3）先作适当分 析，然后

9、师生交流，教师点评 【引导分析与精讲建议】 思维启迪：完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步计数原理 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有 6 种确定方法； 第二步确定b的值，也有 6 种确定方法 根据分步计数原理，得到平面上的点数是 6636 (2) 确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a0，所以有 2 种确定方法 由分步计数原理，得到 第二象限的点的个数是 326. (3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab. 因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有 6 种取法， 即在直线yx上的点有 6 个 由(1)得不在直线yx上

10、的点共有 36630 个 点评点评：弄清是分步与分类关键在于看是一步完成，还是多步完成利用分步计数原理时 要注意每步之间相互依存，互不影响；分类计数原理主要遵循“不重、不漏”的原则 例 2：某班共有男生 28 名，女生 20 名，从该班选出学生代表参加学代会。 （1）若学校分配给该班 1 名代表，则有多少种不同的选法？ （2）若学校分配给该班 2 名代表，且男、女生代表各 1 名，则有多少种不同的选法？ 【教学处理】第（1）问由学生直接完成，并将结果进行交流；第（2）先作适当分析， 然后师生交流，教师点评 【引导分析与精讲建议】 （1）选出 1 名代表有 2 类方式：第 1 类是从男生中选 1

11、 名，有 28 种不同方法；第 2 类是从女生中选出 1 名代表，有 20 种不同方法。根据分类计数原 理，共有不同的选法种数是 28+20=48. （2）选出男、女生代表各 1 名，可以分 2 个步骤完成： 第一步：选出 1 名男生代表，共有 28 种不同方法； 第二步：选出 1 名女生代表，共有 20 种不同方法. 根据分步计数原理，共有不同的方法种数是 2820=560 答：若学校分配给该班 1 名代表，则有 48 种不同的选法. 学校分配给该班 2 名代表， 且男、女生代表各 1 名，则有 560 种不同的选法. 【教学处理】本题视学生基础情况，可以由学生自主完成，然后师生交流讨论，从

12、学生 解题中发现不足，教师加以点评本题不要作其它的变式 【引导分析与精讲建议】 本课进行到这里，第（1）问应该没有问题第（2）问引导学生从结果的构成上进 行正确的分类，一男三女，两男两女，三男一女这三类符合条件，而且这样分类便于计 算对于学生中先计算总数，然后除去不符合条件的种数的解法要进行鼓励与此同时， 第（3）问便迎刃而解 例 3、某医院有内科医生 12 名，外科医生 8 名，现选派 5 名参加赈灾医疗队，其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ kpfSQ(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ n(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？ (4)队中至少有

13、一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 审题视点 (1)分步(2)可分类也可用间接法(3)可分类也可用间接法(4)分类 解 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C816(种)； 3 18 (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C8 568(种)； 5 18 (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C CC6 936(种)； 1 24 183 18 (4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内 三外；三内二外；四内一外，所以共有 CC CC CC CC 14 656(种) 1 12 4 82 12 3 83 12

14、2 84 12 1 8 法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得 C (CC )14 656(种) 5 205 125 8 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也 可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算， 切记不要因为“先取再后取”产生顺序，从而造成计算错误 五、解题反思 （1） “做一件事，完成它”的含义是运用分类计数原理和分步计数原理的前提，解题时 要仔细审题，真正弄清问题的实质，准确运用原理解决实际问题。 （2）判断是排列问题，还是组合问题关键是看有序还是无序；相同的排列要求形成排列 的所有元素相同，并且这些元素的排列顺序完全相同；理解排列和排列数、组合和组合 数之间的区别，排列、组合是一个具体的形式，而排列数、组合数是一个总数。 （3）应用分类方法处理排列组合应用题时，要周密分析，分类要合理清晰，便于计算。 （4）正面考虑问题比较复杂时，可以观察问题的“反面”是否容易求得，对问题中 的“至少一个”我们往往考虑一下“一个没有”的情形，从而实现问题的转化。