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1、第 17 讲 极坐标与参数方程的应用一、教学目标 1、理解掌握一些简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆等)极坐标方程； 2、理解掌握直线、圆和中心在原点的椭圆的参数方程； 3、会进行曲线的极坐标与直角坐标方程的互化，会进行曲线的参数方程与直角坐标方程的 互化； 4、能利用极坐标和参数方程解决相关问题。 二、基础知识回顾 阅读教材第 18 页到第教材第 24 页,第 47 页至第 49 页.完成下列任务. 1:进行极坐标与直角坐标的互化。尤其曲线的极坐标方程与直角坐标的方程的互化。 （注意互化的条件）_ ,)(sin2cos2,6,1 , 1:2选取时参数的几何意义为例理解直线参数
2、方程两点的距离之和到求点交于为参数与曲线设倾斜角经过点已知直线BAPBAyxlPl : 直线的参数方程与普通方程的互化（尤其要注意直线参数方程的选取） ； 1:圆和椭圆（椭圆的中心在坐标原点）参数方程与普通方程的互化。 2圆和椭圆（椭圆的中心在坐标原点）参数方程的选取在求距离时的运用。 33:完成教材第 47 页例题 1,第 49 页例题 3.课后习题第 6,7,8. 【教学建议】帮助学生复习、理解简单图形(主要是直线和圆)的极坐标方程。 （1）教学时，教师可引导学生回顾直线和园的极坐标方程的求解过程。让学生清楚求解 直线和圆的极坐标方程的求解步骤和思路； （2）同时，教师要注意引导学生通过直
3、角坐标方程与极坐标方程的互化来解决，即：本 题可以让学生先写出直角坐标方程，然后转化为极坐标方程。 三三“知识梳理知识梳理”要点解析1.极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x轴正半轴重合时， 可用xcos，ysin将直角坐标方程化为极坐标方程；反之；利用2x2y2，tan (x0)可以将直角坐标方程化为极坐标方程y x 2求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后解决较为方便 3求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解，求解时可与数 形结合思想结合在一起应用；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时应 注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化
4、为极坐标. 4参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方 法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元 或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围 5普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的 参数t，先确定一个关系xf(t)(或y(t)，再代入普通方程F(x，y)0，求得另一 关系y(t)(或xf(t)一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一 点的横坐标(或纵坐标)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的 参数方程也不一样 三、诊断练习 1、教学处理：课
5、前由学生自主完成 3 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。 课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱 动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评题 1、在直角坐标系中圆的参数方程为(为参数)，若以原点为极点，C sin22cos2 yxO以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为 xC【分析与点评】本题可以从两个角度处理：(1)一般方法是将圆的参数方程转化为直角坐标方程，再转化为极坐标方程可提出如下问题进行引导:圆的直角坐标方程是什么？ 直角坐标与极坐标互化的前提是什么？(3 个方面，C
6、注意回顾)直角坐标方程化为极坐标方程的公式是什么？ sincos yx(2)画出圆，在极坐标系下直接处理：设是圆上任意一点，结合图形有),(Psin4)2cos(4题 2、圆1O和圆2O的极坐标方程分别为4cossin ，则经过圆1O，圆2O两个交点的直线的普通坐标方程_答案为：40xy 【分析与点评】 将极坐标方程转化为普通方程求解注意数形结合思想.题 3、设直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴为极轴建立1l)(31为参数ttaytx x极坐标系得到另一直线的方程为，若直线与间的距2l04cos3sin1l2l离为，则实数的值为 10a【分析与点评】 （1）一般方法是将和的方程均转化为直角
7、坐标方程；1l2l（2）可利用以下问题加以引导：由直线与间的距离为，能得出与是什么样的位置关系？1l2l101l2l两条平行线间的距离公式是什么？题 4圆锥曲线22xt yt( 为参数)的焦点坐标是_ . 答案： (1, 0) t【分析与点评】本题显然应将参数方程化为普通方程求对应曲线的焦点坐标。本题另一个 教学目标为使得学生熟悉抛物线的参数方程. 四、范例导析例 1：在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为（ 为参数） ，直xOyl212 222xtyt t线 与抛物线相交于两点，求线段的长。l24yx,A BAB【教学处理】学生分析，投影【引导分析与精讲建议】注意强调化生为熟，即化为普通
8、方程去解决这一基本方法答案为：直线代入抛物线方程并整理得所以交点bACZ:3l xy24yx21090,xx,故.(1,2), (9, 6)AB8 2AB 【备用题】已知曲线的极坐标方程是，设直线 的参数方程是(Csin2l tytx54253为参数)。t(1)将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；C(2)设直线 与轴的交点是，为曲线上一动点，求的最大值lxMNC|MN|【教学处理】第（1）题、第（2）题均可让学生板演，教师点评。 【引导分析与精讲建议】 1、第（1）题，引导学生注意直角坐标方程与极坐标方程互化的公式，形式上怎么凑配？ 2、第（2）题分析时，先提出以下问题 问题 1：直线 与轴
9、的交点什么？它与曲线是怎样的位置关系？lxMC通过上述问题的交流,让学生理解:点在圆外，如何处理圆上一点与圆外定点的 距离最值问题. 问题 2：有哪些方法处理？那种较为简单？ 目标函数思想；（可利用圆的参数求解，亦可直接设出点）),(yxN数形结合关键求解圆心与定点之间的距离CM例 2、已知曲线的极坐标方程为C222 sin9cos436 (1)以极点为原点，极轴所在得到直线为轴，求曲线的直角坐标方程；xC(2)若是曲线上的一个动点，求的最大值),(yxPCyx43 【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。也可在学生在变形遇到困难时，教师
10、适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。【引导分析与精讲建议】1、本题在化简的过程中，要注意形式上的特点，不可盲目将用替代；222xy2、化为直角坐标方程后，要注意所表明的几何意义(截距)；yx43 3、根据曲线的直角坐标方程，也可用椭圆的参数方程，将椭圆上点的坐标用参数式表示，C 进而将转化为三角函数的最值处理。这类似于例 1 第（2）问的处理方法，应yx43 得到强化【变式】：已知直线 和参数方程为 ,是椭圆上任意一l 224 tytx ）t为参数(P1422 yx点，求点到直线 的距离的最大值Pl 【点评】：这里变式题仍然强调椭圆参数方程的应用，转化为三角函数的最值处理例 3 在平面直
11、角坐标系中，设动点都在曲线（为参数）xOy,P Q12cos:2sinxCy 上，且这两点对应的参数分别为，设的中点与定点,2 (02 ) PQM间的距离为求的取值范围。(1,0)A,dd答案为：由题设可知U，(12cos ,2sin),(12cos2 ,sin2 )PQ于是中点，PQ(1 coscos2 ,sinsin2 )M从而。因为2222coscos2sinsin222cosdMA，所以，于是故的取值范围是。021cos1 204,dd0,2【教学处理】可采用教师学生一起讨论的形式，但要体现学生的主导作用。 【引导分析与精讲建议】1、P,Q 点的坐标如何表示？P，Q 点的中点又如何表示
12、？2、的中点与定点间的距离为 d 如何用三角函数表示？PQM(1,0)A六、解题反思1、注意直角坐标方程和极坐标方程的互化前提和互化公式，参数方程和普通方程互化过程中参数的引入及消去；2、要注意直线的参数方程标准式的应用，特别是利用直线参数方程的几何意义解题，如诊断练习题 2；3、在处理极坐标和参数方程的有关问题时，绝大多数问题只要将极坐标方程或参数方程化为直角坐标方程，利用解析几何的有关知识一般都可以解决，因此应强调 “化生为熟”这一基本方法。同时例 1 第（2）问的方法也要体会学习4、在求解二次曲线(如圆和椭圆等)上动点的有关问题时，一般都直接利用其参数方程设点求解较为容易，如例 2、例 3 等
