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1、星期二 (概率与立体几何) 2017 年_月_日1.概率(命题意图：考查频率与概率间的关系，以及分布列、期望的求解与应用)(本小题满分 15 分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间 x(年)0202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率.(2)若该厂生产的轿车均能
2、售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1，X2的分布列.(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由.解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A).23501 10(2)依题意得，X1的分布列为X1123P1 253 509 10X2的分布列为X21.82.9P1 109 10(3)由(2)得 E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1 253 509 10143 501.82.92.79(万元).1 109 1
3、0因为 E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车.2.立体几何(命题意图：考查三棱柱中的垂直关系及线面角的求解)(本小题满分 15 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D 为 AC 的中点，ABB1D.(1)求证：平面 ABB1A1平面 ABC；(2)求直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角的正弦值.解 (1)取 AB 中点为 O，连接 OD，OB1.因为 B1BB1A，所以 OB1AB.又 ABB1D，OB1B1DB1，所以 AB平面 B1OD，因为 OD平面 B1OD，所以 ABOD.由已知，BCBB1，又 ODBC，所以 ODBB1，因为 A
4、BBB1B，所以 OD平面 ABB1A1.又 OD平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的方OB向，|为单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.OB由题设知 B1(0，0，)，D(0，1，0)，A(1，0，0)，3C(1，2，0)，C1(0，2，).3则(0，1，)，(2，2，0)，(1S，0，).B1D3ACCC13设平面 ACC1A1的法向量为 m(x，y，z)，则 m0，m0，即ACCC1xy0，xz0，可取 m(，1).333设直线 B1D 与平面 ACC1A1所成角为 ，故 cos，m.则 sin .B1DB1Dm|B1D|m|217217直线 B，D 与平面 ACC1A1所成角的正弦值为.217
