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1、机械CAD,1,3.7图形变换,无论是用于子图形装配、定位、定向，还是用于图形观察，都需要对图形进行变换操作。这是计算机绘图优越于手工绘图的一个原因。图形变换分为线形变换和非线形变换两大类。,机械CAD,2,线性变换主要有平移、旋转、比例变换，主要用于统一世界坐标系WCS下的定位定向建模操作和改换视点、视向的不同观察坐标系下的观察投影变换，一般没有降维现象。线性变换具有保点、保形、保线的优点，且除透视投影变换外平行线仍变为平行线、交点仍变换交点。,机械CAD,3,非线性变换利用非线性函数，实现图形几何信息和外观属性信息的特技处理，如透视变换（有降维、灭点现象），如电视广告艺术中的魔幻变换（车变
2、动物、流动化及时间反演变换）。非线性变换技术能够创造出更多虚幻的效果，其变换函数为坐标的非线性函数，如多项式、三角函数、指数函数等等，在图像、动画处理软件中广为应用。分形几何中曼氏图从本质上来说也是一种非线性变换。,机械CAD,4,常用非线性变换有： 时域和空间领域的FFT变换。把2D图像转化为2D空间频率集，如余弦变换、小波变换，用于图像压缩。 滤波、锐化变换。如取中值、平均值、差分值等变换，常用于图像去污及平衡背景。 插值变换。依据指定关键帧图，对中间过渡状态进行线性、非线性插值，常用于动画制作。 映射变换。如把矩形参数网格映射曲面网、三角网，如平面镜、凹凸镜图像生成和纹理映射。 复数变换
3、。利用复变函数把（xy）映成(uv)。常用各种保角映射。,机械CAD,5,图形线性变换可以分两种情况。 一种情况是几何变换，坐标系固定不变，只是物体方位、大小发生变化。例如在三维CAD中，从UCS建模坐标系（局部用户坐标系）到WCS世界坐标系（全局坐标系）的变换，实现零件与零件组合（并、差）或零件装配到另外一个零件上的定位操作。 另一种情况是观察变换，物体固定不变，只是坐标系发生变化。例如三维CAD中，从WCS世界坐标系到VCS观察坐标系的变换，实现空间不同角度视察同一个物体。 这两种变换在数学上是互逆的。,机械CAD,6,3.7.1 几何变换,二维空间中用矢量 表示点的坐标或X YT三维空间
4、中用矢量 表示点的坐标或X Y ZT几何变换往往通过相应的矩阵运算来实现。,机械CAD,7,3.7.1.1 二维图形的几何变换,1 平移变换,(x, y),(x, y),(dx, dy),x,y,机械CAD,8,2. 比例缩放,(x, y),(x, y),x,y,机械CAD,9,3. 旋转,x,y,f,q,(x, y),(x, y),机械CAD,10,机械CAD,11,4. 对称,1）对x轴,机械CAD,12,2） 对y轴3） 原点4） 450线5） -450线,机械CAD,13,5. 错切,机械CAD,14,二维变换的矩阵表示,为了得到统一的表达式，引入齐次坐标系的概念。用n+1维向量来表达
5、一个n维向量，如(x y h)表达二维点(x y)。 优点： 1）可以统一几何变换表达式，并且完成复合运算。 2）可以表示无穷远点，有利于表示三维图形的透视变换。,机械CAD,15,机械CAD,16,机械CAD,17,复合变换,复合变换是指对图形进行一次以上的变换，变换的结果是每次的变换矩阵相乘。任何一组变换都可以表示成一个复合变换矩阵，只需要计算每一个单独变换矩阵，并求解出乘积；从另一个方面讲，任何一个复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式，也叫复合变换一般情况下，当我们需要对一个图形对象进行较复杂的变换时，我们并不直接去计算这个变换，而是首先将其分解成多个基本变换，再依次用它们作用
6、于图形。这种变换分解，再合成的办法看起来有些麻烦，但是对用户来说更直接，更容易想象。,机械CAD,18,1 复合平移,复合平移，是指图形经过两次或以上次的平移。下面是点经过两次连续的平移变换后，其变换矩阵如下：,机械CAD,19,2 复合比例,复合平移，是指经过两个连续比例变换后，产生如下的复合变换：,机械CAD,20,3 复合旋转,复合旋转，是指经过两个连续旋转变换后，产生如下的复合变换：,机械CAD,21,在进行复合变换时，通常把复合变换分解成几个简单的几何变换，表示成几个矩阵相乘的形式，因此需要注意矩阵相乘的顺序。由于矩阵乘法不满足交换律，所以在复合几何变换中，矩阵相乘的顺序不可以交换。
7、但是，在一些特殊情况下，可以满足矩阵交换律，如两次连续的平移变换，两次连续的比例变换，两次连续的旋转变换等等；另外，旋转和等比例变换也是可以交换的。,机械CAD,22,4 绕任意点P(xp,yp)旋转变换,将旋转中心平移到坐标原点，其变换矩阵为：,绕坐标原点旋转，其变换矩阵为：,将旋转中心平移回原位置，其变换矩阵为：,x,q,(x, y),(x, y),(xp, yp),y,机械CAD,23,则总的组合变换矩阵为：,机械CAD,24,5 对任意点进行缩放变换,机械CAD,25,？对任意直线的对称变换,机械CAD,26,3.7.1.2 三维图形几何变换,机械CAD,27,三维基本变换矩阵,机械C
8、AD,28,机械CAD,29,三维基本变换,三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。,机械CAD,30,1. 平移变换,机械CAD,31,2. 比例变换 (1)局部比例变换,机械CAD,32,(2)整体比例变换,机械CAD,33,3. 旋转变换,机械CAD,34,(1)绕z轴旋转,机械CAD,35,(2)绕x轴旋转,机械CAD,36,(3)绕y轴旋转,机械CAD,37,4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：,机械CAD,38,关于yz平面的对称变换为：,机械CAD,
9、39,关于zx平面的对称变换为:,机械CAD,40,(2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：,机械CAD,41,关于y轴的对称变换为：,机械CAD,42,关于z轴的对称变换为：,机械CAD,43,5. 错切变换,机械CAD,44,(1)沿x方向错切,机械CAD,45,(2)沿y方向错切,机械CAD,46,(3)沿z方向错切,机械CAD,47,6 三维组合变换,三维组合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。,机械CAD,48,相对任一参考点的三维变换,相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐
10、标原点 (2)针对原点进行二维几何变换 (3)进行反平移,机械CAD,49,例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换,机械CAD,50,3.7.2 观察变换,在进行三维实体建模的过程中不仅要大量地在各个用户坐标系和世界坐标系之间进行切换，而且同时还要不断的改变视向。 在绘图过程中，可以按如下的方法来设置观察坐标系。把坐标系的原点设在观察点（即视点）处，让坐标系的一根坐标轴从原点出发，顺着观察方向指向远方。那么该坐标轴上的坐标就反映了空间立体的观察深度大小，该轴即为Z深度坐标轴。然后让另外两根坐标轴中的一根自该原点水平向右（X轴），另一根向上（Y轴）。,机械CAD,51,窗口-视区变换,在
11、计算机图形学中，将在用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标区域称为窗口区，简称窗口（Window）；将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视图区，简称视图（Viewport）。,机械CAD,52,机械CAD,53,因此，窗口是在用户坐标系中定义的，而视区是在设备坐标系（屏幕坐标系）中定义的。窗口定义了要显示什么，而视区定义在何处显示。,通常的窗口和视区都取为边与坐标轴平行的矩形。其它形状的窗口和视区，如多边形和圆形的窗口和视区有时也会采用，但其处理更为复杂。,窗口和视区分别处在不同的坐标系内，它们所用的长度单位及大小、位置等均不同。因此，要将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区的
12、变换（Window-Viewport Transformation）处理，这种变换就是观察变换（Viewing Transformation）。,机械CAD,54,为了全部、如实地在视区中显示出窗口内的图形对象，就必须求出图形在窗口和视区间的映射关系。也就是说，需要根据用户所定义的参数，找到窗口和视区之间的坐标对应关系。,假设在观察坐标系下窗口区的左下角坐标为（wxl，wyb），右上角坐标为（wxr，wyt）。视区中的左下角坐标为（vxl，vyb），右上角坐标为（vxr，vyt）。,机械CAD,55,由图可知：,机械CAD,56,将窗口内的点（xw，yw）映射到相对应的视区内的点（xv，yv）
13、。,机械CAD,57,若：,则：,机械CAD,58,由此可见，窗口视图变换是比例变换和平移变换的组合变换。先进行平移变换，将窗口左下角坐标移到用户坐标原点，接着进行比例变换，使窗口中各点比例变换到设备坐标系（屏幕）中，最后再作平移变换，使原点移到视图左下角。,注意：为了使经过窗口视图变换后的图形在视图区中输出时不产生失真，在定义窗口和视图时，必须保证窗口区和视图区高度和宽度之间的比例相同。,机械CAD,59,实际上，由于窗口不一定取为矩形，即便取为矩形，矩形边也不一定平行于坐标轴，这时相对应的观察变换就会变得比较复杂。,机械CAD,60,为了方便计算，引入观察坐标系(View Coordina
14、te)和规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate) 。,机械CAD,61,所谓观察坐标系是依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义的直角坐标系；规格化设备坐标系也是直角坐标系，它是将二维的设备坐标系规格化到（0，0）到（1，1）的坐标范围内形成。引入了观察坐标系和规格化设备坐标系后，观察变换分为如下图所示的几个步骤，通常称为二维观察流程。,机械CAD,62,首先，在用户坐标系中生成图形；其次，将用户坐标系下的图形描述变换到观察坐标系下，即进行坐标系间的变换；然后，在观察坐标系下对窗口进行裁剪；裁剪之后进行窗口到视区的变换，即将观察坐标系中描述的窗口内容变换到规
15、格化设备坐标系的视区中；最后，将视区中的图形内容变换到设备坐标系中进行显示。,机械CAD,63,3.7.3 动画显示,无论采用什么样的具体算法(包括软件和硬件方式)，动画显示的基本原理都是一样的，即按照时序逻辑，在屏幕上交替显示和擦除图像（一幅图像称为一个关键帧）。只要擦除和显示关键帧的时间足够短，电影为每秒24帧，就会因人眼的视觉暂留效应而得到动画效果。,机械CAD,64,动画显示过程可以分为两个基本步骤，清除视频缓冲区（清屏）与在视频缓冲区绘制关键帧（显示）。这两个步骤都需要时间，动画的各种显示技术都围绕这两个时间开展工作，以获得满足要求的显示性能。,机械CAD,65,首先，动画显示要满足
16、帧速要求。帧速是每秒中播放的关键帧的数目，一般要求不低于24fps，这是电影的标准播放速度。低于这个帧速，会在视觉上引起闪烁的不适感。如果用时间来衡量，则要求清屏时间和显示时间之和不得大1/24秒。,机械CAD,66,其次，动画显示对关键帧画面有完整性要求。比如，虽然帧速能满足要求，但是绘制时间较之清屏时间要大得多。这样，每次在显示新的一帧时，屏幕将迅速被清掉（清屏时间的长短一般由显示系统的硬件刷新频率决定，可以看成是一个不变的常数），而完成全部关键帧的绘制需要很长的时间，实际上动画是边绘制边显示的。其结果是在1/24秒的大部分时间内看到的将是擦除的背景和不完全的帧画面，特别是帧画面的最后部分可能一幌而过，根本来不及看清楚。动画显示要求消除这种帧画面不完整的现象。,机械CAD,67,1. 双缓冲机制,双缓冲机制就是为显示器建立两个视频缓冲区，一个用于在后台刷新屏幕，一个用于在前台绘制关键帧画面。当需要更新关键帧时，就切换两个缓冲区，将原来作刷新用的缓冲区用于绘制新的关键帧，同时将原来作绘制用的缓冲区用刷新显示。 采用这样的双缓冲机制，可以克服前面所说的关键帧画面不完整的现象，因为关键帧画面只是在全部绘制以后才提交显示，而且也可以提高帧速，因为刷新和绘制操作是同时进行的，从而可以为绘制赢得更多的时间。,
