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1、可靠性数学基本知识,电力可靠性管理中心,二一一年八月 贵阳,CER,中文网址: 国家电力监管委员会电力可靠性管理中心 英文网址: www.chinaer.org,主要内容,电力可靠性基本概念 概率基本知识 元件的可靠性分析 系统可靠性分析简介,一、电力可靠性基本概念,复杂性对系统可靠性的影响,不同年代生产的农用拖拉机的复杂性及可靠性水平,可靠性的基本概念,可靠性reliability：设备或系统在给定的条件下、规定的时间期间内、充分执行其预期功能的概率。 可靠性技术的出发点：引用“概率”理论对可靠性作定量描述。,电力系统可靠性，是指把可靠性工程的一般原理和方法与电力系统中的工程问题相结合所形成
2、的一门应用学科。 利用可靠性管理方法和指标体系可以规定、预测、设计、试验或者演示电力部件、元件、产品或系统的可靠性性能。,目前，电力系统可靠性研究的主要内容有以下两个方面： 可靠性指标的统计分析评价：对已运行的元件或系统进行历史的可靠性指标的统计分析和评价，属于度量过去性能的工作。 可靠性的预测评估：为了规划、设计和建立新的元件或系统，或者扩大、改造和发展现有元件或系统的工作能力而进行的可靠性统计评估，属于预测未来行为的工作。,对电力系统可靠性评价，就是通过一套定量指标来度量电力供应部门向用户提供连续不断的、质量合格的电能的能力。包括对系统充裕性和安全性两方面的衡量。,充裕性是指电力系统稳态运
3、行时，在系统元件额定容量、母线电压和系统频率等的允许范围内，考虑系统中元件的计划停运及合理的非计划停运条件下，向用户提供全部所需电力和电量的能力。充裕性一般涉及系统中是否有足够的设施来满足用户对供电的要求，因此不考虑扰动，属于忽略状态之间转移的工况范畴， 也称为静态可靠性。充裕性的量化分析相对容易，目前已取得大量的理论和工程应用成果。,安全性是指电力系统经受住短路或系统中元件意外退出运行等突然扰动并且不间断地向用户供电的能力。安全性表征对扰动的响应能力和保持整体性（即系统互联运行）的能力，安全性与对系统扰动的响应能力有关，因次涉及引起局部或大范围影响的工况以及失去大容量发电或输电设施的事件，也
4、称为动态可靠性。目前安全性概率分析尚属于开发阶段。,供电系统是电力系统的重要组成部分，供电系统用户可靠性是指一个供电系统对其用户持续供电的能力。 供电系统向用户供电必须满足可靠性的要求，具体到用户供电的角度来说，即以是否造成对用户停电为准，也就是说从用户的角度来看，希望供电系统无论在什么运行方式和运行条件下都不发生故障，能保证连续充分地供给用户正常质量的电能。,二、概率基本知识,事件的性质,事件总是与某些试验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设： 在相同条件下重复进行 实验的结果可能不只一个 不可能预先判定每一次实验将出现的结果,事件的性质,通常将一个给定条件的统计试验中所有可能结果的总和
5、称为“样本空间”。 工程研究中的事件一般都可以用集合来描述，即：样本空间中的一个子集称为事件。,事件的性质,例如，某供电系统某年故障停电时间的样本空间为：,式中t为该供电系统的故障停电时间，则：,是该供电系统故障停电时间大于4小时且等于或小于5小时的事件。,事件的分类,必然事件：一定会发生的事件。 “某一条供电线路一年内所有可能发生的故障次数”。 不可能事件：一定不会发生的事件。 “某一条供电线路一年内发生 2 次故障”。 随机事件：可能发生也可能不发生的事件。 “某一条供电线路一年内发生 1 次故障”。,随机事件的分类,独立事件：如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则这两个事件称为独
6、立事件。实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立事件，例如一个发电厂中不同的主设备的故障事件。但如果事件具有一定相关性时，则不适用独立性的假设。事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计。,互斥事件：如果两个事件不可能同时发生，则称它们是互斥事件，或称不相交事件。例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。应当注意，该设备还可能处于非故障停运的第三种状态。,随机事件的分类,对立事件：如果一个事件只存在两种可能结果，其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生，则称它们是对立事件,或称互补事件。如果这两种结果A和B的概率分别是P(A)和P(B)，则根据定义，有
7、或 例如“一台发电机投入运行”为事件A，“该发电机停运”为事件，则事件A和事件B是对立事件，且 显然，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件。,随机事件的分类,条件事件：条件事件是一些在另一个或另几个事件发生的条件下发生的事件。如果研究事件B发生的条件下事件A发生的概率，则将其记为P(A|B)，读为“给定B发生时A发生的条件概率”。或,随机事件的分类,实践表明，随机事件发生的可能性大小是事件本身所固有的一种客观属性。这种属性通常可以用一个数字来描述，这个属性就是随机事件发生的概率。,概率的古典定义,如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其中对应
8、于A的结果是m个，则事件A发生的概率为：,例如，某供电系统某年故障停电时间分布如表示，计算故障停电时间概率。,解：由概率的古典定义式得：,概率的统计定义,许多实际事件不具备概率古典定义要求等可能发生的有限事件数的性质，但是这些事件的发生仍有其本身的规律性，只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件的发生概率是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值，所以引入概率的统计定义。 定义：当重复试验次数n足够大时，事件A出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A发生的统计概率，记为：,对任意两个事件A和B，当求两个事件同时发生（事件的交(AB)或(AB)）的概率时，需用概率的
9、乘法公式：P(AB) =P(A|B)P(B)= P(B|A)P(A),概率的乘法公式,若事件A和B相互独立，P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B), P(AB) =P(A)P(B) 若事件A和B互斥,即它们不可能同时发生，P(AB) =0,对于多个独立事件，则可推广为：,概率的乘法公式,对相关事件有：,概率的加法公式,对任意两个事件A和B，求至少有一个发生（事件的并）的概率时，需用概率的加法公式：若事件A和B相互独立：若事件A和B互斥， 为空集：,对于三个事件A，B，C，有：推广到n个随机事件的情形有：,概率的加法公式,例如：某一系统由三个单元组成，每一单元的工作概率分别为1/3、1
10、/2、1/2，任一单元工作，系统即能成功。求该系统成功工作的概率。 解：设A、B、C分别为三个单元成功工作的三个事件。并假设这三个事件是独立事件，因此所求概率应为：,概率的加法公式,全概率公式,由条件概率的概念，可以推广到事件A的发生与若干互斥事件相关的情形。则可导出全概率公式为：,随机变量的概念,随机试验的结果往往表现为一个数。例如，某段高压线在一年内发生故障的次数，某台变压器从投入运行到第一次发生故障的小时数，都是随机事件，试验的结果都表现为一个数，而且都以确定的概率取得这些数。函数值由样本空间中每一个元素所确定的函数称为随机变量。 若变量X能表示随机现象的各种可能结果，而且它以确定的概率
11、取得某些值或某个范围的值，则称X为随机变量。 注：随机变量本身就是一个函数，可用概率来量化描述其函数值。,随机变量的概念,例如有三台型号相同的水泵，每台水泵三年内不发生故障的概率是p=0.8，研究这三台水泵三年后还能正常运转台数的概率。,用随机变量X表示三年后还能正常运转的水泵的台数。 “X=0”，表示“三年后没有一台正常运转”的事件； P（X=0）=（0.2）3=0.008 “X=1”，表示“三年后只有一台正常运转”的事件； P（X=1）=30.8*（0.2）2=0.096 “X=2”，表示“三年后有两台正常运转”的事件； P（X=2）= 3(0.8)2* 0.2=0.384 “X=3”，表
12、示“三年后有三台正常运转”的事件。 P（X=3）=（0.8）3=0.512,随机变量的概念,只包含有限个可能的数或一个可数无穷数列的样本空间称为离散样本空间，由其定义的随机变量称为离散随机变量。例如，一条架空线路一年内可能发生的故障次数记为Y，其取值范围是Y= 0，1，2，3 ，因之Y是一个离散随机变量。,随机变量的概念,包含无限个可能实数的样本空间称为连续样本空间；由其定义的随机变量称为连续随机变量。例如，一台变压器的有效寿命T的取值范围理论上是S=0TR,其中R是一个足够大的实数；因之T是一个连续随机变量。 在工程问题中，计数数据通常是离散随机变量，测量数据通常是连续随机变量。,随机变量的
13、概率分布及其主要数字特征,一般工程应用中，我们更感兴趣的不是随机变量可能去什么数值，而是其取某一数值的概率有多大。为此，引入随机变量分布概率的概念，其定义为“随即变量取不大于某一数值的概率”。通常用概率分布来研究工程中通过试验或观察收集的数据，根据可靠性评估的要求来研究对它们进行处理和评估的方法。,常用的分布函数有：概率密度函数PDF (probability density function)累积分布函数CDF (cumulative distribution function) 通常分别用符号f(X)和F(X)表示，其中X表示随机变量，如果一个随机变量的分布函数及有关参数完全确定，则其概率
14、特征可以得到完全描述。,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对于离散型随机变量: 即F(x)是X取小于或等于x 的所有可能值得概率之和。 比如前面提到的水泵的例子（随机变量X表示三年后还能正常运转的水泵的台数）： F（2）=PX2= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)= 0.008+0.096+0.384=0.488,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对于连续型随机变量：即F(x)是f(x)在区间（-，x上的积分值。,随机变量的概率分布及其主要数字特征,由定义可知，均值是加权平均这一概念在随机变量中的推广，它反映了随机变量取值的平均水平。方差反映了随机变量与其均值的偏离程度。,随机变
15、量的概率分布及其主要数字特征,为便于分析计算，常常用到随机变量的数字特征。其中最常用的有均值和方差，分别用符号E(X)和V(X)表示，并定义为： 对离散型随机变量：,式中， xi为随机变量的第i个变量值， Pi为xi出现的概率，且有：,例：某厂生产一批电阻，标称阻值时600欧。随机抽样，测量20个电阻的阻值是597，597，598，598，598，599，599，599，599， 599，600，600，600，600，600，601，601，602，602，602。 每个可能的电阻值都用出现的相对频率来加权，则有：,电阻例子中的方差：,方差值小，说明随机变量的值在其均值左右分布越集中，由此表
16、明均值越能代表X的平均水平。 换言之，均值代表总体的平均水平，方差代表总体水平的波动大小 。,例如，某供电系统某年故障停电时间分布如表示。,计算该供电系统故障停电持续时间的期望E(X)、方差V(X)、和标准差X如下：,解：计算故障停电时间概率得：,随机变量的概率分布及其主要数字特征,对连续型随机变量：,标准差：,平均寿命 平均寿命即寿命的期望值（期望值即均值）。 对不可修复系统或元件，平均寿命为失效前的平均工作时间，记作MTTF(mean time to failure) 对可修复系统或元件，平均寿命为平均故障间隔时间，记作MTBF(mean time between failure) 由数学期望定义，有：,例：设灯泡的寿命为x小时，它的概率密度函数为： f(x)=20000/x3 x100=0 x100 计算这种灯泡的期望寿命。 解：,
