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1、第第 2 2 讲讲 平面向量的基本定理与坐标表示平面向量的基本定理与坐标表示 知知 识识 梳理梳理 1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_不共线_不共线向量，那1e2e么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数 1，2使=1+2aa1e2e特别提醒：特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；1e2e (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；a1e2e (4)基底给定时，分解形式惟一奎屯王新敞新疆 1，2是被，唯一确定的数量a1e2e2平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的
2、xy两个_单位向量_ 、作为基底奎屯王新敞新疆任作一个向量，由平面向量ija基本定理知，有且只有一对实数、，使xy得，axiyj1我们把叫做向量的（直角）坐标，记作),(yxa( , )ax y2其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示奎屯王新敞新疆xaxyay2cbLhcbLh与与相等的向量的坐标也为相等的向量的坐标也为奎屯王新敞新疆a),(yx特别地，奎屯王新敞新疆(1,0)i (0,1)j 0(0,0)特别提醒：特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标yjxiOAOA),(yxAA也就是向量的坐标奎屯王新敞新疆因此，在平面直角坐标系内，每
3、一个平面向量都是可以用一对),(yxOA实数唯一表示奎屯王新敞新疆3平面向量的坐标运算（1 1） 若，则=，11( ,)ax y22(,)bxyab1212(,)xxyy= ab1212(,)xxyy两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差奎屯王新敞新疆BCAOMD（2 2） 若，则 ),(11yxA),(22yxBAB 2121,xx yy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标奎屯王新敞新疆（3 3）若和实数，则( , )ax ya(,)xy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标奎屯王新敞新疆4向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,
4、y1) ，=(x2, y2) 其中abba ()的充要条件是abb012210x yx y 重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点：重点： （1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进 行向量的分解及正交分解； （2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向 量的加、减与数乘运算； 2.2.难点：难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否 共线. 3.重难点：重难点： （1 1）平行的情况有方向相同和方向相反两种平行的情况有方向相同和方向相反两种问题问题 1 1：和a = (3,4)平行的单位向量
5、是_；错解错解：因为a 的模等于 5，所以与a 平行的单位向量就是a ，即 ( ， )513 54 5错因错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解正解：因为a 的模等于 5，所以与a 平行的单位向量是a ，即( ， )或( ， )513 54 53 54 5 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析考点一：考点一： 平面向量基本定理平面向量基本定理 题型题型 1.1. 利用一组基底表示平面内的任一向量利用一组基底表示平面内的任一向量例 1 在OAB中，AD与BC交于点M，设OBODOAOC21,41=，=，用,表示.OA aOBb ab OM 解题思路解题思路 ：若是一个平面
6、内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平21,eeABCQRP面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为21,eeab OMab求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.AM ADCMCB 解析：解析：设=m+n，OMab则,(1)AMmanb 1 2ADab 点A、M、D共线，与共线，AM AD，m+2n=1. 5 . 01 1nm而，CMOMOC 1()4manb1 4CBab C、M、B共线，与共线，CMCB，4m+n=1. 1 4141 nm 联立解得:m=，n=，71 7313 77OMab 例 2 已知是所在平面内一点
7、,的中点为,的中点为,的PABCAPQ BQRCR中点为.证明:只有唯一的一点使得与重合.SPSP 解题思路解题思路 ：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示.AP 解析：解析： 证明设，,ABa ACb 则11 1() ()22 2ASARACABAQAC ,111 428ABACAP 由题设知: ASAP 711 842APABAC 24 77APab 由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一ab AP ABC的一点使得与重合.PSP【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平BACPNM行的充要条
8、件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )1e2eA与 B3与 2 C与 D与 21e2e1e2e1e2e1e2e1e1e答案：D2在ABC中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN与CM交于点P,且,试 用表示., ACABab , a b AP 解： AMAB =13, ANAC =14,， ，11 33AMABa 11 44ANACb M、P、C三点共线，故可设，tR R , , 于是， MPt MC 1111()()33333tAPAMMPatMCa
9、t baatb 同理可设设，sR R , , NPsNB 1()44sAPANNPbsa 由得 ，11()()b03344tss at由此解得 ， 112,113ts32 1111APab 考点二考点二: : 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算 题型题型 1:1: 向量向量加、减、数乘的坐标运算加、减、数乘的坐标运算例 3 已知 A（2,4） 、B（3,1） 、C（3,4）且,求点CACM3CBCN2M、N 的坐标及向量的坐标.MN 解题思路解题思路 ： 利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析：解析： A（2，4） 、B（3，1） 、C（3，4） )3,6(),8, 1(
10、CBCA=3（1，8）=（3，24） ，=2（6，3）=（12，6）CACM3CBCN2设，则),(yxM)4, 3(yxCM因此 得， 24433 yx 200 yx)20,0(M同理可得，=（90，220）=（9，18）)2,9(NMN【名师指引】灵活运用向量的坐标运算公式。【新题导练】3 若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2= ABBC答案：(-3,-3) 解：2=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)ABBCX4若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求 P 点的坐标；21MPMN解：设 P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4,
11、 )21 21 P 点坐标为(-1, -) 21243yx 231yx23考点三考点三: : 向量平行的充要条件向量平行的充要条件 题型题型 1:1: 平行、共线问题平行、共线问题例 4 （广东省高明一中 2011 届高三月考） 已知向量，若，则锐角等于（ ）(1 sin ,1)a1( ,1 sin )2babA B C D30456075 解题思路解题思路 ： 已知a a、b b的坐标，当求a a/b b时，运用两向量平行的充要条件 x1y2x2y1=0可求值sinWK解析：B 解：，故选 B1(1 sin )(1 sin ) 102A【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求
12、解的关键本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到【新题导练】5若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求 xab解：=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 (-1)2- x(-x)=0abx= 与方向相同 x=2ab26已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，ABtOAOP求(1)t 为何值时，P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。(2)四边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理 由。解：(1) =(1+3t,2+3t)，若 P 在 x 轴上，只需 2+3t=0，；若ABtOAOP32tP 在 y 轴上，只需 1+3t=0，；若 P 在第二象限，只需 31t 032031 tt31 32t(2)若 OABP 为平行四边形，)3t-3 ,33(PB ),2 , 1 (tOA则PBOA 由于无解，故四边形 OABP 不能构成平行四边形。 233133 tt
