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1、1第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算第 1 层 用已知向量表示未知向量例 1 如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量， ，表示和. OAOBOCOPOQ解 OPOMMP1 2OA2 3MN ()1 2OA2 3ONOM ()1 2OA2 3ON1 2OA ()1 6OA2 31 2OBOC；1 6OA1 3OB1 3OCOQOMMQ1 2OA1 3MN ()1 2OA1 3ONOM ()1 2OA1 3ON1 2
2、OA ()1 3OA1 31 2OBOC.1 3OA1 6OB1 6OC点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确2理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立第 2 层 化简向量例 2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量(1)；ABBCCD(2) ()；AB1 2BDBC(3) ()AG1 2ABAC解
3、 (1).ABBCCDACCDAD(2) ()AB1 2BDBCAB1 2BC1 2BD.ABBMMGAG(3) ()AG1 2ABAC.AGAMMG、 、如图所示ADAGMG点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为 0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则第 3 层 证明立体几何问题例 3 如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GMGA13.求证：B、G、N三点共线3证明 设a a，b b，c c，ABAC
4、AD则BGBAAGBA3 4AMa a (a ab bc c)a ab bc c，1 43 41 41 4 ()BNBAANBA1 3ACADa ab bc c.1 31 34 3BG，即B、G、N三点共线.BNBG2 空间向量易错点扫描易错点 1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例 1 “abab0a a与b b夹角为锐角或a a与b b方向相同易错点 2 忽略两向量的夹角的定义例 2 如图所示，在 120的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B.已知ACABBD6，试求线段CD的长4错解 ACAB，BDAB，0，0，CAABBDAB二面角AB的平面角为 120，
5、120.CABDCD22()2CDCAABBD222222362262cos 12072，CD6CAABBDCAABCABDBDAB.2错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念向量，的夹角与二面角CABDAB的平面角互补，而不是相等正解 ACAB，BDAB，0，0，CAABBDAB二面角AB的平面角为 120， 18012060.CABDCD22()2CDCAABBD222222362262cos 60144，CD12.CAABBDCAABCABDBDAB易错点 3 判断是否共面出错例 3 已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a a，b b，则与a a、b bOAOBOCOAOB
6、OC不能构成空间的一个基底的是( )A. B. C. D.或OAOBOCOAOB错解 a a，b b，OAOBOCOAOBOC相加得 (a ab b)，OAOB1 2所以、都与a a、b b共面，不能构成空间的一个基底，故选 D.OAOB剖析 (a ab b)，说明与a a、b b共面，但不能认为、都与a a、b b共面OAOB1 2OAOBOAOB对 A、B：设xa ayb b，OA5因为a a，b b，OAOBOCOAOBOC代入整理得(xy1)(xy)(xy)0，因为O、A、B、C四点不共面，OAOBOC所以、 、不共面，OAOBOC所以xy10，xy0，xy0，此时，x、y不存在，所以
7、a a、b b与不共面，OA故a a、b b与可构成空间的一个基底OA同理a a、b b与也可构成空间的一个基底OB对 C：因为a a，b b，相减有 (a ab b)，所以与a a、b b共面，故OAOBOCOAOBOCOC1 2OC不能构成空间的一个基底正解 C易错点 4 混淆向量运算和实数运算例 4 阅读下列各式，其中正确的是( )Aa ab bb bc c(b b0 0)a ac cBa ab b0a a0 0 或b b0 0C(a ab b)c ca a(b bc c)D.|cos(180AOB)OABOOABO错解 A(或 B 或 C)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价
8、，以致出错向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故 A、C 错误；若a ab b0a a0 0 或b b0 0 或a ab b，故 B 错误；的OABO夹角是 180AOB.正解 D易错点 5 忽略建系的前提例 5 四边形ABCD是边长为 2 的菱形，ABC60，AE平面ABCD，AE2，F为CE中点，试合理建立坐标系，求、所成角的余弦值AFBC错解 以A为坐标原点，以、 、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐ABADAE标系Axyz.此时(1，1，1)，(0，2，0)，所以 cos， .AFBCAFBC33剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与A
9、D不垂直6正解 设AC、BD交于点O，则ACBD.因为F为CE中点，所以OFAE，因为AE平面ABCD，所以OF平面ABCD，OFAC，OFBD，以O为坐标原点，以、 、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系OCODOFOxyz.此时(1，0，1)，(1， ，0)，AFBC3所以 cos， .AFBC24易错点 6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例 6 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角ABD1C的大小错解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)由题意知是平面ABD1
10、的一个法向量，(1，0，1)，是平面BCD1的一个法向量，DA1DA1DC1(0，1，1)，DC1所以 cos， .DA1DC1DC1DA1|DC1|DA1|1 2所以，60.DA1DC1所以二面角ABD1C的大小为 60.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置正解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)由题意知(1，0，1)是平面ABD1的一个法向量，(0，1，1)是平面BCD1的一个法DA1DC1向量7所以 cos， ，DA1DC1DC1DA1|DC1|DA1|1 2所以，60.DA1DC
11、1结合图形知二面角ABD1C的大小为 120.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如1利用共顶点的互相垂直的三条棱例 1 已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，
12、y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C1(0，1，2)，B(2，4，0)，C(0，1，0)，所以(2，3，2)，BC1(0，1，0)CD所以 cos， .BC1CDBC1CD|BC1|CD|3 1717故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.3 1717点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可2利用线面垂直关系例 2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知8AB，BB12，BC1，BC
13、C1.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐2 3标解 过B点作BP垂直BB1交C1C于P点，因为AB平面BB1C1C，所以BP平面ABB1A1，以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系因为AB，BB12，BC1，BCC1，2 3所以CP ，C1P ，BP，则各点坐标分别为B(0，0，0)，A(0，0，)，B1(0，2，0)，1 23 2322C(， ，0)，C1(，0)，E(，0)，A1(0，2，)321 2323 2321 22点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标
14、轴上的点的坐标含有 0，也为后续的运算带来了方便本题已知条件中的垂直关系“AB平面BB1C1C” ，可作为建系的突破口3利用面面垂直关系例 3 如图 1，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点将ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如图 2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小解 取AE中点M，连接BM，DM.因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，所以ABE与ADE都是等边三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，所以BMMD.9以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，则E(1，0，0)，B(0，0，)，C(2， ，0)，D(0， ，0)，333所以(2，0，0)，(0， ，)，DCBD33设平面BCD的法向量为m m(x，y，z)，由Error
