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1、13 32.22.2 平面的法向量与平面的向量表示平面的法向量与平面的向量表示学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题知识点一 平面的法向量思考 平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理 平面的法向量已知平面，如果_，则向量n n叫做平面的法向量或说向量n n与平面正交知识点二 平面的向量表示设A是空间任一点，n n为空间内任一非零向量，则适合条件_的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n n垂直的平面这个式子称为一个平面的向量表示式知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理
2、1两平面平行或垂直的判定方法设n n1 1，n n2 2分别是平面，的法向量，则容易得到或与重合_；_.2三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直类型一 求平面的法向量例 1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量32引申探究若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量 反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n n(x，y，z)(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.AB
3、AC(3)列方程组：由Error!列出方程组(4)解方程组：Error!(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1)(6)得结论：得到平面的一个法向量跟踪训练 1 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形平面PAB平面ABCD，PAB是边长为 1 的正三角形，ABCD是菱形ABC60，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立
4、空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练 2 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为 45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，问在棱PD上是否存在一点1 2E，使CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由3类型三 三垂线定理及应用例 3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点求证：EO平面A1DB.反思与感悟 利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个跟踪训练 3 如图，已知PO平面ABC，且O为ABC的垂心，
5、求证：ABPC.1若直线l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则m为( )(1，1 2，2)A4 B6 C8 D82若两个不同平面，的法向量分别为u u(1，2，1)，v v(3，6，3)，则( )A BC，相交但不垂直 D以上均不正确43若a a(1，2，3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是( )A(0，1，2) B(3，6，9)C(1，2，3) D(3，6，8)4已知平面的法向量是(2，3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是( )A B610 3C6 D.10 35在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_1用法向量来解决
6、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果2利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果提醒：完成作业 第三章 3.2.25答案精析答案精析问题导学知识点一思考 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系平面的法向量不唯一，它们都是共线的梳理 向量n n的基线与平面垂直知识点二n n0AM知识点三1n n1n n2 n n1n n2 n n1 1nn2 20题型探究例 1 解
7、 因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间AB直角坐标系，则D(0， ，0)，E(0， ， )，B(1，0，0)，C(1， ，0)，3321 23于是(0， ， )，(1， ，0)AE321 2AC3设n n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则Error!即Error!所以Error!令y1，则xz.3所以平面ACE的一个法向量为n n(，1，)33引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，6则P(0，0，1)，C(1， ，0)，3所以(1， ，1)即为直线PC的一个方向向量PC3设平面PCD的法向量为n n(
8、x，y，z)因为D(0， ，0)，所以(0， ，1)3PD3由Error!即Error!所以Error!令y1，则z.3所以平面PCD的一个法向量为n n(0，1，)3跟踪训练 1 解 因为PAPB，F为AB的中点，所以PFAB，又因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因为ABBC，ABC60，所以ABC是等边三角形，所以CFAB. 以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)由题意得F(0，0，0)，P(0，0，)，32D(1， ，0)，32C(0， ，0)，E(0， ，)323434所以(0， ，)，(1， ，0)FE3434FD3
9、2设平面DEF的法向量为m m(x，y，z)则Error!即Error!所以Error!令y2，则x，z2.3所以平面DEF的一个法向量为m m(，2，2)37例 2 证明 (1) 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1)FC1DAAE设n n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n n1，n n1，DAAE即Error!得Error!令z12，则y11，所以n n1(0，1，2)因为n n1220，FC1所
10、以n n1.FC1又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2，0，0)，设n n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量C1B1由n n2，n n2，FC1C1B1得Error!得Error!令z22，得y21，所以n n2(0，1，2)，因为n n1n n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟踪训练 2 解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，8设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，PE(0，2，1)，PD，PEPDy(1)2(z1)0，(0，2，0)是平面PAB的法向量，AD又(1，y
11、1，z)，CE平面PAB，CE，(1，y1，z)(0，2，0)0.CEADy1，代入得z ，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面1 2PAB.例 3 证明 方法一 取F、G分别为DD1和AD的中点，连接EF、FG、GO、AC.由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影又A1DFG，A1DEO(三垂线定理)又ACBD，CO为EO在平面ABCD内的射影，EOBD(三垂线定理)又A1DBDD，EO平面A1DB.方法二 连接AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为 2，由方法一已证BDOE，又OE2()2123.2A1O222()26，2A1E2(2)2129.2A1E2OE2A1O2.A1OOE，又A1OBDO，OE平面A1DB.跟踪训练 3 证明 PO平面ABC，O为垂足，PC在平面ABC内的射影为OC.9又O为ABC的垂心，ABOC.据三垂线定理得ABPC.当堂训练1C 2.A 3.B 4.B 5(1，1，1)(答案不唯一)
