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1、回顾,曲边梯形求面积的问题,直观理解：,应用方向：,平面图形的面积；体积；侧面积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,将y作为自变量给出面积公式,定积分的应用,一、平面图形的面积,面积微元:,(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为,面积元素:,(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积:,一般地，,及y轴围成的平面图形的面积为,一般地，,及y轴围成的平面图形的面积为：,一般地，,解,两曲线的交
2、点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程,解2:,椭圆的参数方程,面积元素,曲边扇形的面积,极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,平行截面面积为已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,旋转体的体积,旋转体的体积为,由图形 aABb 绕 x轴旋转一周,其平行截面面积,解,直线 方程为,套筒法:,体积微元:,例,解,利用圆面积,解,例,圆锥体积,解,(1),例,解,体积元素为,平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,直角坐标情形,解,所求弧长为,解,曲线弧为,弧长,参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,弧长,极坐标情形,解,解,旋转体的侧面积,曲线弧为,参数方程情形,极坐标情形,曲线弧为,
