平面应力状态

《平面应力状态》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面应力状态（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第七章,应力状态和强度理论,7.1 概述,一、应力状态的概念,1、问题的提出,弯曲时，同一横截面上不同点上的应力是不同的,轴向拉压时，同一点不同方向面上的应力也是各不相同的,应力取决于：,点的位置,截面的方向,应力状态的概念,二、单元体法,单元体（微 元体）,由于单元体无穷小，可认为,1、单元体各面上的应力均匀分布,2、单元体的两个平行面上的应力相同,1、单元体法的基本思想,2、基本单元体,单元体上的应力可以用基本变形理论求得，称为基本单元体。,3、主平面，主应力，主单元体,主平面：切应力等于零的截面,主应力：主平面上的正应力,主单元体：主平面构成的单元体,对于构件上任意一点，均有唯一的主单元

2、体,图示单元体的前、后面，即为主平面,有三个主应力，记为,（主应力按照代数值大小排列）,三、应力状态的分类,单向应力状态：,二向应力状态： （平面应力状态）,三向应力状态： （空间应力状态）,主单元体中有一个主应力等于零，其余两个主应力不等于零。,主单元体中有一个主应力不等于零， 其余两个主应力等于零。,主单元体的三个主应力都不等于零。,7.2 平面应力状态分析,一、概述,二向应力状态（平面应力状态）：,主单元体中有一个主应力等于零，两个主应力不等于零。,二向应力状态（平面应力状态）的普遍情况：,单元体上有一对平行面上没有应力。,二、解析法,分析内容：求单元体上任意斜截面上应力，从而确定主平面

3、，主应力，主单元体以及最大切应力大小和所在截面。,已知：,斜截面ef 的方位角,1、斜截面ef 上的应力,解:用ef截面将单元体截开, 取aef为研究对象。,有关物理量的符号规定：,正应力：拉伸为正，压缩为负,切应力：绕研究对象顺时针转为正，逆时针转为负,注意到： ，得：,上式可进一步简化为：,利用：,2、主平面，主应力,主应力：主平面上的正应力,结论：主应力是正应力的极值。,主平面位置:,主应力表达式,主平面位置:,主应力表达式,3、最大切应力,由:,得:,最大切应力表达式,总结：,主平面位置:,主应力表达式,最大切应力表达式,任意截面的应力,确定单元体的主应力和主平面位置并在单元体中绘出,

4、解：,主平面位置:,例题：,主平面位置:,主应力大小为：,主平面和主应力的对应问题？,三、图解法,将上述公式改写为:,等式两边平方,求和,得:,1、理论基础,上式是以 为圆心,为半径的圆。,这一个圆，称为应力圆。,应力圆,二、应力圆的画法,4、以C为圆心，CD为半径作圆,1、由 得D点,2、由 得D点,3、 连DD交 s 轴 于C 点,1）求任意斜截面m m上的应力,2、应力圆的应用,从D点，沿圆周旋转2角，旋转方向角的转向一致，得到E点。,E点的横坐标和纵坐标分别为斜截面m m上的正应力和切应力。,2）确定主平面的位置和主应力的大小,A1 最大主应力所在截面主平面,B1 最大主应力所在截面主

5、平面,主平面的位置,3）确定最大切应力的大小 和所在截面的位置,G1 ， G2 最大切应力 所在截面,显然有：,最大切应力截面和主平面的夹角为,最大切应力截面上还有正应力,点面对应 应力圆上一点对应着微元某一斜截面上的应力,转向对应 应力圆上圆心角和斜截面之间夹角的转向相同。,二倍角对应 应力圆上两点之间的圆心角等于它们所对应的斜截面之间夹角的两倍。,有关应力圆结论：,一点的应力圆完全确定了一点的应力状态。,确定单元体的主应力和主平面,解：,例题：,主平面位置:,主应力大小为：,7.3 空间应力状态,一、三向应力状态的实例,三向受压应力状态,三向受拉应力状态,二、三向应力状态分析,一般的三向应

6、力状态分析比较复杂，,我们仅讨论三个主应力为已知的情况。,考虑平行于 的任意斜截面上的应力,不会在该截面上产生任何应力,该截面上的应力的分析将完全等同于二向应力状态的应力分析,考虑平行于 的任意斜截面上的应力,平行于 的任意斜截面上的应力， 与 无关。,所有平行于 的斜截面上的应力可用由 所决定的应力圆来表示。,同理，所有平行于 的斜截面上的应力与 无关，可由 所决定的应力圆来表示。,同理，所有平行于 的斜截面上的应力与 无关，可由 所决定的应力圆来表示。,进一步研究表明，任意斜截面上的应力位于三个应力圆之间的阴影区内。,由三向应力状态的应力圆可得到如下结论：,1、,2、最大切应力的大小为：,

7、所在截面平行于 ，与 所在主平面成 夹角。,确定图示单元体的主应力和最大切应力,解：,例题：,该应力状态是一个主应力已知的三向应力状态。,可以分解为：一个单向应力状态 + 一个平面应力状态,该单元体的三个主应力为：,最大切应力为：,确定图示单元体的主应力和最大切应力,解：,例题：,该应力状态是一个主应力已知的三向应力状态。,可以分解为：一个单向应力状态 + 一个平面应力状态,对图示的平面应力状态,该三向应力状态的三个主应力为：,最大切应力为：,7.4 应力和应变的关系,一、 已知的情况,求:图示单元体沿 和方向的应变。,三个主应力单独作用时，单元体沿 和方向的应变可由拉压胡克定律确定。,三个主

8、应力共同作用时，由载荷叠加原理单元体沿 方向的应变为：,广义胡克定律,三个主应力已知时，单元体的三个主应变为：,二、普遍情况,正应变只与正应力有关,切应变只与切应力有关,特例: 平面应力状态,三、体积应变,变形前正六面体的体积为:,变形后正六面体的体积为:,体积应变 :,代入广义胡克定律,得到:,令:,得到:,体积应变仅与平均主应力有关,与三个主应力的各自数值无直接关系。,钢块上凹坑的直径为50.01mm，凹坑内放置一直径为50mm的钢制圆柱，圆柱受F=300kN的轴向压力，假设钢块不变形。,例题：,确定圆柱体的主应力,解：,圆柱体横截面上的应力为：,在轴向压缩下，圆柱体将产生横向膨胀，产生均

9、匀的径向压力p,在均匀的径向压力p作用下，圆柱体中任一点的径向应力和周向应力都等于p,由于钢块不变形，,由广义胡克定律,代入前面的结果，有,解得：,圆柱体任一点的主应力为：,7.6和7.8 强度理论及相当应力及应用,工字梁弯曲时强度计算,翼缘的最外层A点,腹板中点B点,翼缘和腹板交界处的C点,强度条件？,一、实例,复杂应力状态下的强度条件？,二、强度理论,利用简单拉伸试验结果来建立复杂应力状态的强度条件的理论。,简单拉伸试验时，材料的破坏分为两大类，,对于复杂应力状态，材料的破坏仍然分为两大类，,强度理论也分为两大类,三、四种常用的强度理论,（1）、最大拉应力理论（第一强度理论）,材料的破坏取

10、决于最大拉应力，无论材料处于何种应力状态,只要最大拉应力 达到材料单向拉伸时的 ，就发生断裂破坏。,破坏条件:,强度条件:,适用范围:,脆性材料,有较大拉应力的情况。,三向拉伸应力状态,所有的材料。,（2）、最大拉应变理论（第二强度理论）,材料的破坏取决于最大拉应变，无论材料处于何种应力状态,只要最大拉应力变 达到材料单向拉伸时的 ，就发生断裂破坏。,破坏条件:,强度条件:,适用范围:,可以定性解释脆性材料（混凝土，石料）受压时产生纵向裂纹的现象。,（3）、最大切应力理论（第三强度理论）,材料的破坏取决于最大切应力，无论材料处于何种应力状态,只要最大切应力 达到材料单向拉伸屈服时的 时，就发生

11、屈服破坏。,破坏条件:,强度条件:,适用范围:,脆性材料，三向压缩。,塑性材料,除三向拉伸以外。,（4）、形状改变能密度理论（第四强度理论）,材料的破坏取决于畸变能密度，无论材料处于何种应力状态,只要畸变能密度 达到材料单向拉伸屈服时的 时，就发生屈服破坏。,破坏条件:,强度条件:,适用范围:,与第三强度理论相同。,强度理论总结：,理论,1、相当应力：,强度理论不等式的左边的应力。,物理意义为：,单向拉伸的强度条件为：,复杂应力状态的强度条件为：,说明：,利用相当应力 的概念,各种强度理论的公式可写为:,第一强度理论:,第二强度理论:,第三强度理论:,第四强度理论:,2、如何选用强度理论,（1）材料：,（2）应力状态：,从材料和应力状态两个方面考虑:,塑性材料一般采用第三或第四强度理论。,三向压缩采用第三或者第四强度理论。,三向拉伸采用第一强度理论，,脆性材料一般采用第一和第二强度理论,