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1、高等数学,12,一阶微分方程的,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第十二章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式
2、求解 .,化为,方法 1 这是一个齐次方程 .,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,令 y = u t,(齐次方程),令 t = x 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,例3.,设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表达式 .,解: (1),所以F(x
3、) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2) 由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P326 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P327 题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10),提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,提示: 为贝努里方程 , 令,提示: 为全微分方程 , 通解,提示: 可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,原方程化为, 即,则,故原方程通解,提示: 令,例
4、4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件.,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,关键问题是正确建立数学模型,要点:,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 求解过程参考P273例3 ),( 齐次方程 ),思考: 能否根据草图列方程?,练习题:,P327 题 5 , 6,P327 题5 . 已知某
5、曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .,提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,P327 题6. 已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,提示: 设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,( 假定输入的新鲜空气,输入 ,的改变量为,t = 30 时,解定解问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气 .
6、,初始条件,得,k = ?,作业P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4),二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ;4(2)； 8,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分
7、方程的通解,提示: (6) 令,则方程变为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,P327 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,P327 题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导, 且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用对称性,即,( 欧拉方程 ),原方程可化为,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,特征根
8、:,例1. 求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),代入原微分方程得,(2)
9、方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程 ( 共性 ),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件 ( 个性 ),初始条件,边界条件,可能还要衔接条件,2 . 解微分方程问题,3 . 分析解所包含的实际意义,例4.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的
10、初速度,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,求质点的运动规,例5.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定 + ?,已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点,例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦,力, 求链条滑下来所需的时间 .,解: 建立坐标系如图.,设在时刻 t , 链条较长一段,下垂 x m ,
11、又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律, 得,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当 x = 20 m 时,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的,数学模型是什么 ?,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来 所需时间为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测,要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正,比
12、 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的微分,方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量 m 体积 B,作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4)8 ; *11(1),得,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程通解公式,2.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解: (1),(02考研),所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,代入初始条件可得,故所求级数的和,
