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1、转化 转化 空间几何体题型与方法归纳空间几何体题型与方法归纳( (文科文科) ) 考点一考点一 证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直 1、如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1； 解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明， 二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线 平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案答案:解法一解法一：（I）直三棱柱 ABCA1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5， ACB
2、C，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， ACBC1； （II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点， DE/AC1， DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1， AC1/平面 CDB1； （2）设 CB1与 C1B 的交战为 E，则 E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DE 2 3 1 AC ，DEAC1. 1 2 1 ACDE 点评：2平行问题的转化： 面面平行线面平行线线平行； 主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理 2、如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD， PA=AD=CD
3、=2AB=2，M 为 PC 的中点。 (1)求证：BM平面 PAD； (2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD； （1）是的中点，取 PD 的中点，则MPCE ，又MECD 2 1 ABCD 2 1 四边形为平行四边形ABME ，BMEAPADBM平面 PADEA平面 （4 分）BMPAD平面 （2）由（1）知为平行四边形ABME ，又ABCDPA底面ABPA ADAB 同理，PADAB平面PADCD平面PAD平面AE 为矩形 ，又AEAB ABMECDMEPDCD AEPD PDMEABME平面PDPBDPD平面 作故ABMEPBD平面平面EBMFPBD平面MF 交于，在矩形
4、内，MFAENABME1 MEAB2AE ， 为的中点 3 2 MF 2 2 NENAE 当点为的中点时，NAEBDMNP平面 3.【2016 高考山东文 19】 (本小题满分 12 分) 如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.EABCDABD,CBCD ECBD ()求证：；BEDE ()若，M 为线段 AE 的中点，120BCD 求证：平面.DMBEC 【答案】(I)设中点为 O，连接 OC，OE，则由知 ，BDBCCDCOBD 又已知，所以平面 OCE.CEBDBD 所以，即 OE 是 BD 的垂直平分线，BDOE 所以.BEDE (II)取 AB 中点 N，连接，,MN DN M 是 A
5、E 的中点，MNBE 是等边三角形，.ABDDNAB 由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，BCAB 所以 NDBC， 所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC. 4、（2016 年高考（江苏）如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不 111 ABCABC 1111 ABACDE， 1 BCCC，D 同于点),且为的中点.CADDEF， 11 BC 求证:(1)平面平面;ADE 11 BCC B (2)直线平面. 1 /AFADE 【答案】证明:(1)是直三棱柱 ,平面. 111 ABCABC 1 CC ABC 又平面,. AD ABC 1 CCAD 又平面,
6、平面. 1 ADDECCDE， 111 BCC BCCDEE，AD 11 BCC B 又平面,平面平面. AD ADEADE 11 BCC B (2),为的中点,. 1111 ABACF 11 BC 111 AFBC 又平面,且平面,. 1 CC 111 ABC 1 AF 111 ABC 11 CCAF 又平面,平面. 111 CCBC ， 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 111 ABC 由(1)知,平面,. AD 11 BCC B 1 AFAD 又平面平面,直线平面 AD 1 , ADEAF ADE 1 /AFADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系. 【解析】(1
7、)要证平面平面,只要证平面上的平面即可.它可由已知ADE 11 BCC BADEAD 11 BCC B 是直三棱柱和证得. 111 ABCABCADDE (2)要证直线平面,只要证平面上的即可. 1 /AFADE 1 AFADEAD 考点二考点二 求空间图形中距离与体积求空间图形中距离与体积 5、 （安徽理 17）如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上， 1,2,OAOD OAB，,OAC，ODE，ODF都是正三角形。 （）证明直线BCEF； （II）求棱锥 FOBED 的体积。 （I） （综合法） 证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点.
8、由于OAB 与ODE 都是正三角形，所以 OB DE 2 1 ，OG=OD=2， 同理，设 G 是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，有 . 2ODGO 又由于 G 和 G 都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G 重合. 在GED 和GFD 中，由OB DE 2 1 和 OC DF 2 1 ，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点，所以 BC 是 GEF 的中位线，故 BCEF. （向量法） 过点 F 作 ADFQ ，交 AD 于点 Q，连 QE，由平面 ABED平面 ADFC，知 FQ平面 ABED，以 Q 为坐 标原点，QE为x轴正向，QD为 y 轴正向，QF为 z 轴
9、正向，建立如图所示空间直角坐标系. 由条件知 ). 2 3 , 2 3 , 0(), 0 , 2 3 , 2 3 (),3, 0 , 0(),0 , 0 , 3(CBFE 则有 ).3, 0 , 3(), 2 3 , 0 , 2 3 (EFBC 所以 ,2BCEF 即得 BCEF. （II）解：由 OB=1，OE=2， 2 3 ,60 EOB SEOB知 ，而OED 是边长为 2 的正三角形，故 . 3 OED S 所以 . 2 33 OEDEOBOBED SSS 过点 F 作 FQAD，交 AD 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD 知，FQ 就是四棱锥 FOBED 的高，且 FQ= =
10、 = 3 ，所以 . 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 6.（四川 19） 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点，且 PB1平面 BDA （I）求证：CD=C1D： （）求点 C 到平面 B1DP 的距离 解析：（1）连接 1 B A 交 1 BA 于O, 1 /B P 1 面BD A , 111 ,B PAB PAB PDOD 1 面面面BA 1 /B POD ,又O为 1 B A 的中点， D 为AP中点， 1 C 1 为AP, 1 ACDPC D 1 C
11、DCD ,D 为 1 CC 的中点。 （2）因为 11 C B PDB PCD VV ，所以 1 11 11 33 B PDPCD h SAB S , 11 1AB 11 111 244 PCDPC CPC D SSS , 在 1 B DP 中， 1111 95 5 352 55 44 ,5,.cos,sin 3 2255 25 2 B DB PPDDB PDB P ， 1 1 3531 5, 2 2543 B PD Sh 7.【2016 高考湖南文 19】（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACBD. （）
12、证明：BDPC； （）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【答案】 【解析】（）因为,.PAABCD BDABCDPABD平面平面所以 又是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD平面 PAC，,ACBD PA AC 而平面 PAC，所以.PC BDPC （）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知，BD平面 PAC， 所以是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而.DPODPO30 由 BD平面 PAC，平面 PAC，知.PO BDPO 在中，由，得 PD=2OD.RtPODADPO30 因为四边形 ABC
13、D 为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，ACBD,AODBOCAA 从而梯形 ABCD 的高为于是梯形 ABCD 面积 111 (42)3, 222 ADBC 1 (42) 39. 2 S 在等腰三角形中， 2 ,2 2, 2 ODAD 所以 22 24 2,4.PDODPAPDAD 故四棱锥的体积为.PABCD 11 9 412 33 VSPA 8.【2014 高考广东文 18】本小题满分 13 分） 如图 5 所示，在四棱锥中，平面，是的中点，是PABCDAB PAD/ABCDPDADEPBF 上的点且，为中边上的高.CD 1 2 DFABPHPADAD （1）证明：平面；PH ABCD
14、（2）若，求三棱1PH 2AD 1FC 锥的体积；EBCF （3）证明：平面.EF PAB 【解析】（1）证明：因为平面，AB PAD 所以。PHAB 因为为中边上的高，PHPADAD 所以。PHAD 因为，ABADA 所以平面。PH ABCD （2）连结，取中点，连结。BHBHGEG 因为是的中点，EPB 所以。/EGPH 因为平面，PH ABCD 所以平面。EG ABCD 则， 11 22 EGPH 。 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 （3）证明：取中点，连结，。PAMMDME 因为是的中点，EPB 所以。 1 / 2 MEAB 因为， 1 / 2
15、 DFAB 所以，/MEDF 所以四边形是平行四边形，MEDF 所以。/EFMD 因为，PDAD 所以。MDPA 因为平面，AB PAD 所以。MDAB 因为，PAABA 所以平面，MD PAB 所以平面。EF PAB 9.【2015 高考陕西文 18】（本小题满分 12 分） 直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ， =CAB 2 （）证明; 11 BACB （）已知 AB=2，BC=，求三棱锥的体积5 11 CAAB 【解析】（）如图，连结 1 AB, 111 ABCABC是直三棱柱， CAB= 2 ，来源:， AC平面 11 ABB A,故 1 ACBA 又 1 ABAA，四边形 11 ABB A是正方形
