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1、第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题,总纲目录,教材研读,1.二元一次不等式表示的平面区域,考点突破,2.线性规划的有关概念,考点二 目标函数的最值（或范围）问题,考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域,考点三 线性规划的实际应用,1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成 虚线 以 表示区域不包括边界直线,不等式Ax+By+C0所表示的平面区域包括 边界直线,故把边界直线画成 实线 . 对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+B
2、y+C,所 得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0)表示直线哪一侧的 平面区域.,教材研读,2.线性规划的有关概念,1.不等式组 表示的平面区域是 ( ),C,答案 C x-3y+61)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取 值范围是 ( ) A.(1,3 B.3,+) C.(1,2 D.2,+) (2)(2016北京朝阳二模)已知关于x,y的不等式组 所表示的平面 区域D为三角形,则实数k的取值范围是 .,答案 (1)B (2)k-2或0k1,解析 (1)作出不等式组 表示的平面区域,如图:由 得
3、A(3,1),此时满足loga31,解得a3,实数a的取值范围是3,+),故选B. (2)根据题意作图如下.由图可知,要使不等式组所表示的平面区域是三 角形,则有-1-k0或-k2,k-2或0k或-1,2+2 a0,则平面区域的面积S= (2+2a)2=2+2a=3,故a= ,故选B.,考点二 目标函数的最值(或范围)问题 命题方向一 求线性目标函数的最值,典例2 (2017北京,4,5分)若x,y满足 则x+2y的最大值为 ( ) A.1 B.3 C.5 D.9,D,答案 D 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.令z=x+2y, 当z=x+2y过A点时,z取最大值.,由 得A(3,3
4、), z的最大值为3+23=9.故选D.,典例3 (1)如果点P(x,y)在平面区域 内,则x2+(y+1)2的最大 值和最小值分别是 ( ) A.3, B.9, C.9,2 D.3, (2)(2017北京丰台一模,12)若x,y满足 则 的取值范围是 .,命题方向二 求非线性目标函数的最值,答案 (1)B (2),解析 (1)如图,作出点P(x,y)所在的平面区域.x2+(y+1)2表示动点P到定 点Q(0,-1)的距离的平方.过点Q作QP0直线x-2y+1=0于点P0,易知当点P 在点P0处时,离Q最近,|P0Q|2= ,当点P在点(0,2)处时,离Q最远,|PQ|2=9. 因此x2+(y
5、+1)2的最大值为9,最小值为 .,的几何意义为可行域中的点(x,y)和(0,0)连线的斜率,易得A ,B(1, 6), ,即 6, 的取值范围为 .,(2)作出可行域,如图:,典例4 设x,y满足约束条件 若z=x+3y的最大值与最小值的差 为7,则实数m= ( ) A. B.- C. D.-,命题方向三 线性规划中的参数问题,C,答案 C,解析 由约束条件 作出可行域,如图.联立 解得A(1,2),联立 解得B(m-1,m), 由z=x+3y,得y=- + . 由图可知,当直线y=- + 过点A时,z有最大值,为7, 当直线y=- + 过点B时,z有最小值,为4m-1, 由题意知7-(4m
6、-1)=7,解得m= .故选C.,方法技巧,1.线性规划问题的解题步骤 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行 直线系中过原点的那一条直线; (2)平移将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置; (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可 求出最值.,2.常见代数式的几何意义 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.,2-1 (2014北京,6,5分)若x,y满足 且z=y-x的最小值
7、为-4,则k 的值为 ( ) A.2 B.-2 C. D.-,D,答案 D 由 得A(4,0).由图推测直线kx-y+2=0必过A(4,0),得k=- ,经验证符合题目条件.故选D.,2-2 在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的 投影.由区域 中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记 为AB,则|AB|= ( ) A.2 B.4 C.3 D.6,C,答案 C 由不等式组画出可行域,如图中的阴影部分所示.因为直线x+ y-2=0与直线x+y=0平行,所以可行域内的点在直线x+y-2=0上的投影构 成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),
8、所以|AB|=|CD|= =3 .故选C.,2-3 设x,y满足约束条件 则z=x+3y的最大值是 .,答案,解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图(阴影部分).由z=x+3y得y=- x+ ,易知当该直线经过点A 时,z取得最大值,zmax=+3 = .,典例5 某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、质量、可 获利润以及运输限制如下表:,在最合理的安排下,获得的最大利润的值为 62 .,考点三 线性规划的实际应用,答案 62,解析 设甲种货物的件数为x件,乙种货物的件数为y件,获得的利润为z元. 由题意知 即 目标函数为z=8x+10y,作出不等式组表示的平面区域,如图.由图可知z
9、的 最大值在(4,3)处取得,即zmax=62.,方法技巧 解线性规划应用题的步骤 (1)转化设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线 性规划问题; (2)求解解这个纯数学的线性规划问题; (3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案.,3-1 某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周 (按5天计算)生产A,B,C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产 品),已知生产每吨产品所需天数和每吨产值如表:,则每周最高产值是 ( ) A.30万元 B.40万元 C.47.5万元 D.52.5万元,D,答案 D 设生产A,B,C三种产品的吨数分别为x,y,15-x-y,产值为z万元, 根据题意可得 z=4x+3.5y+2(15-x-y)=2x+1.5y+30,作出可行域如图所示,由图可以看出,当x=0,y=15时,z取得最大值52.5,故选D.,
