《2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值二学案新人教b版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值二学案新人教b版选修（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11 13.23.2 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (二二) )明目标、知重点 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3在开区间(a，b)内连续的函数不一定有
2、最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值情境导学极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题探究点一 求函数的最值思考 1 如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答 f(x1)，f(x3)，
3、f(x5)是函数yf(x)的极小值；2f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值思考 2 观察思考 1 的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答 函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值思考 3 函数的极值和最值有什么区别和联系？答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内
4、取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：(1)求导，确定函数在闭区间上的极值点(2)求出函数的各个极值和端点处的函数值(3)比较大小，确定结论例 1 求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,21 2解 (1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，22令f(x)0，解得x或x.22当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)22(，)222(，)2f(
5、x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，单调递减区间为22(，)22因为f(2)8，f(3)18，f()8，22f()8；22所以当x时，f(x)取得最小值8；22当x3 时，f(x)取得最大值 18.(2)f(x) cos x，令f(x)0，又x0,2，1 23解得x 或x .2 34 3计算得f(0)0，f(2)，f( )，2 3 332f( ) .4 32 332当x0 时，f(x)有最小值f(0)0；当x2 时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟 (1)求函数的最值，求极值是关键的一环若仅是求最值，则简化为：求出导数为零的点
6、比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得跟踪训练 1 求下列函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；1 3(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解 (1)f(x)x34x4，1 3f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2) ，f(0)4，f(3)1，4 3函数f(x)在0,3上的最大值为 4，最小值为 .4 3(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0)上的最大值和最小值1 3解
7、 f(x)x24.令f(x)0，得x2 或x2(舍去)因为 0xa，所以当 02 时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，a)af(x)f(x)4减函数4 3增函数a34a41 3从上表可知：当x2 时，f(x)取最小值f(2) ，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大4 3的一个所以当 22时，f(x)的最大值为f(a)a34a4.31 3综上可得：当 02时，f(x)min ，f(x)maxa34a4.34 31 3探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如f(x)0 恒成立
8、，只要f(x)的最小值大于 0 即可如f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.当x1 时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)1.故实数m的取值范围是(1，)1函数yf(x)在a，b上( )A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值答案 D解析 由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|0，则函数在区间上为增函数， 2， 2，所以y的最大值为ymaxsin ，故选 C.4函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为 10，则其最小值为_答案 71解析 f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0 得x3 或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.呈重点、现规律1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2求含参数的函数最值，可分类讨论求解3 “恒成立”问题可转化为函数最值问题
