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1、第一章知能基础测试第一章知能基础测试时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线 y x22x 在点 处的切线的倾斜角为导学号 05300372( )12(1，32)A1 B45 C45 D135答案 D解析 yx2，所以斜率 k121，因此倾斜角为 135.故选 D.2下列求导运算正确的是导学号 05300373( )A.1B(log2x)(x3x)3x21xln2C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2xsinx答案 B解析 1，所以 A 不正确；(x3x)3x2(3x)3
2、xln3，所以 C 不正确；(x2cosx)2xcosxx2(sinx)，所以 D 不正确；(log2x)，所以 B 对故选 B.1xln23如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)0)，则导函数 yS(t)的图像大致为导学号 05300373( )答案 A解析 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选 A.4已知函数 f(x) x42x33m，xR，若 f(x)90 恒成立，则实数 m 的取值范围是12导学号 05300375( )AmBm3232CmDmxa 时，f
3、(x)0，故在 a，b上，f(x)为增函数且又由图知f(x)在区间 a，b上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选 D.10曲线 ye x 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为12导学号 05300381( )A. e2B4e292C2e2De2答案 D解析 y e ，12x2在点(4，e2)处的切线方程为 y e2xe2，12令 x0 得 ye2，令 y0 得 x2，围成三角形的面积为 e2.故选 D.11(2016全国理，7)函数 y2x2e|x|在2,2的图象大致为( )导学号 05300382答案 D解析 由导函数图象可知，当 x0，函数 f(x)递增
4、因此，当 x0 时，f(x)取得极小值，故选 D.12(2015甘肃省会宁一中高二期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)，当且仅当 ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)，设 p，qR，若(1,2)(p，q)(5,0)，则(1,2)(p，q)导学号 05300383( )A(4,0)B(2,0) C(0,2)D(0，4)答案 B解析 由(1,2)(p，q)(5,0)得Error!Error!Error!Error!，所以(1,2)(p，q)(1,2)(1，2)(2,0)二、填空题(
5、本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分将正确答案填在题中横线上)13(2016全国卷理，15)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)lnx3x，则 f(x) 3, f(1)2，则在点1x(1，3)处的切线方程为 y32(x1)，即 y2x1.14若函数 f(x)在(0，)上为增函数，则实数 a 的取值范围是_ax21x导学号 05300385答案 a0解析 f(x)a，(ax1x)1x2由题意得，a0 对 x(0，)恒成立，1x2即 a，x(0，)恒成立a0.1x215(2015安徽理，15)设 x3axb0，其中 a，b 均为实数下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的
6、是_(写出所有正确条件的编号)导学号 05300386a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案 解析 令 f(x)x3axb，求导得 f(x)3x2a，当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)单调递增，且至少存在一个数使 f(x)0，所以 f(x)x3axb 必有一个零点，即方程 x3axb0 仅有一根，故正确；当 a0，解得b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.16已知函数 f(x)x33x，若过点 A(1，m)(m2)可作曲线 yf(x)的三条切线，则实数 m 的取值范围为_导学号 05300387答案 (3，2)解析 f (x)3x23，设切点为 P(x0
7、，y0)，则切线方程为 y(x 3x0)(3x 3)3 02 0(xx0)，切线经过点 A(1，m)，m(x 3x0)(3x 3)(1x0)，3 02 0m2x 3x 3，m6x 6x0，当 013 02 02 0时，此函数单调递减，当 x00 时，m3，当 x01 时，m2，当30)，12x32f(x) 1x12x2323x22x12x2.3x1x12x2令 f(x)0，解得 x11，x213(因为 x2 不在定义域内，舍去)13当 x(0,1)时，f(x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3.18(本题满分 12 分)已知函数 f(x)ax3c
8、xd(a0)是 R 上的奇函数，当 x1 时，f(x)取得极值2.导学号 05300389(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的单调区间和极大值；(3)证明：对任意 x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|1 时，f (x)0，函数 f(x)单调递增；函数 f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在 x1 处取得极大值，且极大值为 f(1)2.(3)由(2)知，函数 f(x)在区间1,1上单调递减，且 f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2.最小值为 mf(1)2.对任意 x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|0)，
9、借款的利率为 4.8%.又银行吸收的存款能全部放贷出去导学号 05300391(1)若存款利率为 x，x(0,0.048)，试写出存款量 g(x)及银行应支付给储户的利息 h(x)与存款利率 x 之间的关系式；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？解析 (1)由题意，存款量 g(x)kx2.银行应支付的利息 h(x)xg(x)kx3.(2)设银行可获得收益为 y，则 y0.048kx2kx3.y0.096kx3kx2.令 y0，得 x0(舍去)或 x0.032。当 x(0,0.032)时，y0；当 x(0.032,0.048)时，y0，所以 f(x)在(，a)和(1，)上为增函数当 0
10、a0，所以 f(x)在(，1)和(a，)上为增函数，从而 f(x)在(，0)上为增函数综上可知，当 a0 时，f(x)在(，0)上为增函数22(本题满分 14 分)(2016全国卷理，21)()讨论函数 f(x)ex的单调性，并证明x2x2当 x0 时，(x2)exx20；()证明：当 a0,1)时，函数 g(x)(x0)有最小值，设 g(x)的最小值为 h(a)，exaxax2求函数 h(a)的值域.导学号 05300393解析 ()f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，x1x2exx2exx22x2exx22且仅当 x0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，2)，(2，)上单调递增
11、因此当 x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，(x2)exx20.()g(x)(f(x)a)x2exax2x3x2x3由()知，f(x)a 单调递增对任意的 a0,1)，f(0)aa1xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此 g(x)在 xxa处取得最小值，最小值为g(xa).exaaxa1x2 aexafxaxa1x2 aexaxa2于是 h(a)，由()0，得单调递增exaxa2exx2x1exx22exx2所以，由 xa(0,2，得 h(a).12e002exaxa2e222e24因为单调递增，对任意的 ( ，存在唯一的 xa(0,2，af(xa)0,1)，使得exx212e24h(a)，所以 h(a)的值域是( ，12e24综上，当 a0,1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是( ，12e24
