《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.5 对数与对数函数 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套文档 2.5 对数与对数函数 word版含解析（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 指数与指数函数指数与指数函数1分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且 n1)；正数的负分数m nanam指数幂的意义是(a0，m，nN*，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数m na1nam指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa100 时，y1；当 x0 时，01性质(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()44.( )44(2)(1)(1).( )
2、2 41 21(3)函数 yax是 R 上的增函数( )(4)函数 y(a1)的值域是(0，)( )21xa(5)函数 y2x1是指数函数( )(6)函数 y( )1x的值域是(0，)( )141若 a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是( )33A1 B.14C. D.2223答案 D解析 a(2)12，b(2)12，3333(a1)2(b1)2(3)2(3)233 .1126 31126 3232设函数 f(x)a|x|(a0，且 a1)，f(2)4，则( )Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)答案 A解析 f(x)a|x|(a0，且
3、a1)，f(2)4，a24，a ，12f(x)|x|2|x|，(12)f(2)f(1)3函数 f(x)ax (a0，a1)的图象可能是( )1a答案 D解析 函数 f(x)的图象恒过(1,0)点，只有图象 D 适合4已知 0x2，则 y32x5 的最大值为_1 24x答案 52解析 令 t2x，0x2，1t4，又 y22x132x5，y t23t512 (t3)2 ，12121t4，t1 时，ymax .52题型一 指数幂的运算例 1 化简：(1)(a0，b0)；33221111 43342()a baba ba b(2)()(0.002)10(2)1()0.2782 31 2523思维点拨
4、可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算解 (1)原式121 311113233211226333 11 233()a b a bab ab a b ab1.(2)原式121 32271()()8500105210(2)121 328()500275 1010201.49551679思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1)化简(x1，b1，b0C00D00 且
5、 a1)的定义域和值域都是0,2，则实数 a_.答案 (1)(，2 (2)3解析 (1)y2x1的图象过点(0,2)，y2x1m 的图象过点(0,2m)，令 2m0 得m2.(2)当 a1 时，x0,2，y0，a21，a212，即 a.3当 00，2x2，即 x1.当 t1,2时，2tm0，(22t122t)(2t12t)即 m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故 m 的取值范围是5，)思维升华 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程 f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和 yg(x)图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是
6、通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构(1)如果函数 ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是 14，则 a 的值为( )A. B113C3 D. 或 313(2)若关于 x 的方程|ax1|2a (a0 且 a1)有两个不等实根，则 a 的取值范围是( )A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.(0，12)答案 (1)D (2)D解析 (1)令 axt，则 ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t ，a，又函数 y(t1)22 在上单调递增，1a1a，a所以 ymax(a1)2214，解得 a3(负值舍去)当 00 且 a1
7、)有两个实数根转化为函数 y|ax1|与 y2a 有两个交点当 01 时，如图(2)，而 y2a1 不符合要求综上，00，a1)在区间 ，0上有22xxba32ymax3，ymin ，试求 a、b 的值52易错分析 (1)误认为 a1，只按一种情况求解，而忽略了 01，函数 f(x)at在1,0上为增函数，at ，1，则 bab ，b1，4 分1a22xx1a依题意得Error!Error!解得Error!Error!6 分(2)若 01和 00，a1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a1 与 00 且 a1)的图象必经过点( )A(0,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)答案
8、D解析 a01，f(2)2，故 f(x)的图象必过点(2,2)2已知 a22.5，b2.50，c( )2.5，则 a，b，c 的大小关系是( )12Aacb BcabCbac Dabc答案 D解析 a201，b1，cbc.3若函数 f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A(，2 B2，)C2，) D(，2答案 B解析 由 f(1) 得 a2 ，1919a (a 舍去)，即 f(x)( )|2x4|.131313由于 y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以 f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选 B.4已知函数 f(x)Erro
9、r!Error!是定义域上的递减函数，则实数 a 的取值范围是( )A( ， ) B( ，131213611C ， ) D( ，122312611答案 B解析 由题意得Error!Error! 1，则有 ab0；(2)若 t1，则有 ab0；(3)若 01，则 aa11，即 a2a10，解得 a或 a(舍去)1 521 52综上所述 a.5 127已知正数 a 满足 a22a30，函数 f(x)ax，若实数 m、n 满足 f(m)f(n)，则 m、n 的大小关系为_答案 mn解析 a22a30，a3 或 a1(舍)函数 f(x)3x在 R 上递增，由 f(m)f(n)，得 mn.8若函数 f(
10、x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_答案 (1，)解析 令 axxa0 即 axxa，若 01，yax与 yxa 的图象如图所示有两个公共点9已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时 x 的取值范围解 (1)当 a0，b0 时，任意 x1，x2R，x10a0b0，当 a0 时，x，则 xlog1.5；(32)a2b(a2b)当 a0，b0，22x12x又 1010,1010，12x22xf(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，f(x)是 R 上的增函数(3)y
11、1.10x10x10x10x102x1102x12102x1102x11，0f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )A3c3b B3b3aC3c3a2 D3c3a0.又 f(c)f(a)，|3c1|3a1|，13c3a1，3c3a0 时，F(x) x2；1x当 x0 时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是增函数，F(x)F(0)1，所以 F(x)的值域为(，12，)13函数 y的图象大致为( )exexexex答案 A解析 y1，当 x0 时，e2x10，且随着 x 的增大而增大，故 y1exexexex2e2x11 随着 x 的增大而减小，即函数 y 在(0
12、，)上恒大于 1 且单调递减又函数 y 是奇2e2x1函数，故只有 A 正确14关于 x 的方程x有负数根，则实数 a 的取值范围为_(32)23a5a答案 (23，34)解析 由题意，得 x0，所以 0x1，(32)从而 01，解得 a .23a5a233415已知函数 f(x)exex(xR 且 e 为自然对数的底数)(1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数 t，使不等式 f(xt)f(x2t2)0 对一切 x 都成立？若存在，求出 t；若不存在，请说明理由解 (1)f(x)ex( )x，1e且 yex是增函数，y( )x也是增函数，所以 f(x)是增函数1e由于 f(x)的定义域为 R，且 f(x)exexf(x)，所以 f(x)是奇函数(2)存在满足题意的 t.由(1)知 f(x)是增函数和奇函数，所以 f(xt)f(x2t2)0 对一切 xR 恒成立f(x2t2)f(tx)对一切 xR 恒成立x2t2tx 对一切 xR 恒成立t2tx2x 对一切 xR 恒成立(t )2min12x122对一切 xR 恒成立(t )20t .1212即存在实数 t ，使不等式 f(xt)f(x2t2)0 对一切 x 都成立12
