《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016届《步步高》高考数学大一轮总复习（人教新课标文科）配套学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件 （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案学案 2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义自主梳理自主梳理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题 2四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(pq)； 逆命题：若 q 则 p(qp)； 否命题：若綈
2、p 则綈 q(綈 p綈 q)；逆否命题：若綈 q 则綈 p(綈 q綈 p)(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件 若 pq，则 p 叫做 q 的充分条件；若 qp，则 p 叫做 q 的必要条件；如果 pq，则 p 叫做 q 的充要条件 自我检测自我检测 1(2010湖南)下列命题中的假命题是( ) AxR，lg x0 BxR，tan x1 CxR，x30 DxR,2x0 答案 C 解析 对于 C 选项，当 x0 时，030，因此xR，x30 是假命题2(2010陕西)“a0”是
3、“|a|0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a0|a|0，|a|0a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件3(2009浙江)“x0”是“x0”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于“x0”“x0” ，反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要条件4若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的( ) A逆否命题 B逆命题 C否命题 D原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知，s 是 p 的逆命题 t 的
4、否命题5(2011宜昌模拟)与命题“若 aM，则 bM”等价的命题是( )A若 aM，则 bMB若 bM，则 aMC若 aM，则 bMD若 bM，则 aM答案 D 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定解 (1)逆
5、命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数真命题逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题变式迁
6、移 1 有下列四个命题： “若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x22xq0 有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题的序号为_ 答案 解析 的逆命题是“若 x，y 互为相反数，则 xy0” ，真；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等” ，假；若 q1，则 44q0，所以 x22xq0 有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形” ，假探究点二 充要条件的判断 例 2 给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么条件 (1)p：x20；q：(x2)(x3
7、)0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等 (3)p：m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；fxfxp：cos cos ；q：tan tan ； p：ABA；q：UBUA. A B C D 答案 D 解析 q：yx2mxm3 有两个不同的零点q：m24(m3)0q：m6p；当 f(x)0 时，由 qp；若 ，k ，kZ 时，显然 cos cos ，但2tan tan ；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合题意 探究点三 充要条件的证明 例 3 设 a，b，c 为ABC 的三边，求证：方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公 共根的充要
8、条件是A90.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性证明 (1)必要性：设方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根 x0，则 x 2ax0b20，x 2cx0b20，2 02 0两式相减可得 x0，将此式代入 x 2ax0b20，b2ca2 0可得 b2c2a2，故A90，(2)充分性：A90，b2c2a2，b2a2c2.将代入方程 x22axb20，可得 x22axa2c20，即(xac)(xac)0.将代入方程 x22cxb20，可得 x
9、22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故两方程有公共根 x(ac)所以方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是A90.变式迁移 3 已知 ab0，求证：ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20. 证明 (1)必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又 ab0，a0 且 b0.a2abb2(a )2 b20.b234ab10，即 ab1.综上可知，当 ab0 时，ab1 的充要条件是 a3b3aba2b20.转化与
10、化归思想的应用 例 (12 分)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m50，且 mZ.求两方程的根都是整数的充要条件 【答题模板答题模板】 解 mx24x40 是一元二次方程，m0. 2 分另一方程为 x24mx4m24m50，两方程都要有实根，Error!解得 m ，1 6 分54两根为整数，故和与积也为整数，Error!，m 为 4 的约数， 8 分m1 或 1，当 m1 时，第一个方程 x24x40 的根为非整数，而当 m1 时，两方程均为整数根，两方程的根均为整数的充要条件是 m1. 12 分【突破思维障碍突破思维障碍】 本题涉及到参数问题，先用转化
11、思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想 0.求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数【易错点剖析易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果，那么”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是 p 对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的否定的区别3本节体现
12、了转化与化归的数学思想(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2010天津模拟)给出以下四个命题： 若 ab0，则 a0 或 b0；若 ab，则 am2bm2；在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程 ax2bxc0 中，若 b24ac0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题5(2011枣庄模拟)集合 Ax|x|4，xR，Bx|x5”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 Ax|4x4，若 AB，则 a4，a4a5，但 a5a4.故选 B.二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
13、 6 “x10 且 x20”是“x1x20 且 x1x20”的_条件 答案 充要 7(2011惠州模拟)已知 p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，则 p 是 q 的 _条件 答案 必要不充分 解析 由(x1)(y2)0 得 x1 或 y2，由(x1)2(y2)2 0 得 x1 且 y2，所以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件8已知 p(x)：x22xm0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围 为_ 答案 3,8) 解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m0，解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 44m0，解得 m0，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围 解 设 Ax|px|x24ax3a20x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2 x|x4 或 x2(4 分) 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， 綈 q綈 p，且綈 p綈 q. 则x|綈 qx|綈 p，(6 分)而x|綈 q
