《高中数学 第二章 复变函数的积分【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 复变函数的积分【新】（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、梁昆淼 编,(第四版),高等教育出版社,主讲：冯 杰,第二章 复变函数的积分,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.4 柯西公式,2.1 复变函数积分,第一篇 复变函数论,第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数积分,一、复数积分的基本概念,对复变函 数求之和,记,1、复函数积分的定义,其中,将复变函数的实部和虚部分开,2、复函数积分的性质,6条性质与实函数的积分相同P23,解,路径(1),OB上：y=0； BA上：x=1,路径(2),由此可见，对于有些被积函数，积分与路径有关！,OC上：x=0； CA上：y=1,例2：计算积分,分别沿路径(1)和(2)，如图所示。,解,路径(1),路径(2
2、),由此可见，对于有些被积函数，积分与路径无关！,OB上：y=0，BA上：x=2,2.2 柯西定理,一、单连通区域,1、单通区域柯西定理,证明：,如果函数 f ( z )在闭单连通区域 B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l（可以是边界），则有:,由C.R.条件,得：,证毕,由格林公式 （查高等数学曲线积分与曲面积分的关系）,令：,请同学们动手做这一步。,推论：单连通区域中解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。,证明：,即：解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。,亦即：,所以：,即：,二、复连通区域,函数在区域上不可导，存在奇点； 将这些点挖掉所形成的带空区域；, l 为区
3、域外境界线； li为区域内境界线； 积分沿境界线正方向进行； 正方向：沿该方向前进，区域在其左边；,1、复连通区域的含义,2、复通区域柯西定理：如果 f ( z )在闭复连通区域上是单值的解析函数，则有,证明复通区域柯西定理,证：,将复连通区域：l + l1 + l2 进行切割变成单连通区域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC ；,对单连通区域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC； 应用单通区域柯西定理，可得：,其中,内、外境界线逆时针积分相等！,考察积分路径的方向,逆时针,顺时针,逆时针,逆时针,3、柯西定理的数学意义：,闭复连通区域上的解析函数沿境界线积分为零；
4、,闭复连通区域上的解析函数沿所有内、外境界线正方向积分之和为零；,闭复连通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；,2.3 不定积分,1、单连通区域的不定积分,单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关，令z0固定，终点 z 为变点，有单值函数：,A,B,l2,l1,且：,即，F(z) 是f (z)的原函数。,2、证明：,即,如图，有：,另一方面，有恒等式：,即：,运用极限方法：,即，F(z) 是f(z)的原函数,两式相减：,得：,且：,2、路积分等于原函数F(z)的改变量,即，F(z) 是f(z) 的原函数,证明：,即：,证毕。,例：计算积分：,（n 为整数）,解：n 0 被积函数解析。,（1）如果l 不包围，被积函数解析，,则有：,（2）如果l 包围，但是n 0，被积函数亦解析，,则亦有：,为什么？,为什么？,l,C,R,（3）如果 l 包围， 而且n 1P30式（2. 4. 7）,解：,5、数模定理 复变函数的极值定理,设函数 f (z)在某个闭区域上解析， 则f(z)只能在境界线上取得极大值。,如果 f (z)在全平面解析，并且有界， 即f(z)N，则，f (z)必定为常数。,6、刘维尔定理复变函数的有界性定理END-2,第二章作业：P31：1、2 ；,
