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1、章末综合测评章末综合测评( (二二) )(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 xy0，则)的最小值为( )(x24y2)(y21x2)A9 B9C10D0【解析】 29.x2(2y)2(1x)2y2 (x1x2yy)【答案】 B2设 nN，则 4n与 3n 的大小关系是( )A4n3nB4n3nC4n3n，即 4n3n.【答案】 A3已知实数 a，b，c，d，e 满足abcde8，a2b2c2d2e216，则 e 的取值范围为( )A.B0，4 55165，165C.D0，
2、1654 55，4 55【解析】 4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即 4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即 5e216e0，e(5e16)0，故 0e.165【答案】 C4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40 件，50 件，20 件，现在选择商店中单价为 5 元，3 元，2 元的奖品，则至少要花( )A300 元B360 元C320 元D340 元【解析】 由排序原理，逆序和最小最小值为 502403205320(元)【答案】 C5函数 y29x (x0)的最大值是( )4xA10B10C11D11【解析】 y22210.(9x4x
3、)36【答案】 A6已知 a，b，c(0，)，ab4c21，则c 的最大值是( ) ab2【导学号：94910043】A5B102C8D132【解析】 (ab4c2)(c)2，1212(12)2ab2c.ab252102当且仅当 ab ，c时等号成立25510【答案】 B7若 x2y4z1，则 x2y2z2的最小值是( )A21B121C16D116【解析】 1x2y4z，x2y2z2，x2y2z21416121即 x2y2z2的最小值为.121【答案】 B8设 S(n) ，则( )1n1n11n21n2AS(n)共有 n 项，当 n2 时，S(2) 1213BS(n)共有 n1 项，当 n2
4、 时，S(2) 121314CS(n)共有 n2n 项，当 n2 时，S(2) 121314DS(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，S(2) 121314【解析】 S(n)共有 n2n1 项，当 n2 时，S(2) .121314【答案】 D9设 a，b，c 为正数，且 a2b3c13，则的最大值为( )3a2bcA.B13 3313 32C.D61313【解析】 (a2b3c)2( 3212(13)2 (a 3 2b1 3c13)2，3a2bc()2，3a2bc1323，3a2bc13 33当且仅当时取等号a32b13c13又 a2b3c13，a9，b ，c 时，原式取到最大值.3213
5、13 33【答案】 A10已知 a，b，c 为正数，且满足 a2b3c1，则 的最小值为1a12b13c( )A7B8C11D9【解析】 a，b，c 为正数，且满足a2b3c1， (a2b3c)1a12b13c339，当且仅当 a2b3c 时取等号因此(1a12b13c)3a2b3c31a12b13c13的最小值为 9.1a12b13c【答案】 D11用数学归纳法证明 cos cos 3cos(2n1)12(k，kZ，nN)，在验证 n1 时，左边计算所得sin 2n12cos 2n12sin 的项是( )A.12B. cos 12C. cos cos 312D. cos cos 2cos 3
6、12【解析】 首项为 ，末项为 cos(211)cos .12【答案】 B12设 a，b，c，x，y，z 是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则的值为( )abcxyzA.B1413C.D1234【解析】 由题意可得 x2y2z22ax2by2cz，与 a2b2c210 相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令Error!或Error!则 xyz2(abc)，即 .abcxyz12【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13证明 1 (nN)，假设 nk 时成立，当12131412n1n2nk1 时
7、，左边增加的项数是_【解析】 左边增加的项数为 2k112k12k.【答案】 2k14已知 x，y，zR，xyz9，则的最大值是_xyz【解析】 ()2(121212)(xyz)3927，所以xyz3.xyz3当且仅当 xyz3 时取“” 【答案】 3315若 xyzt4，则 x2y2z2t2的最小值为_【解析】 比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当 xyzt1时，取最小值 4.【答案】 416函数 y的最小值是_. (11sin )(11cos )(02)【导学号：
8、94910044】【解析】 由柯西不等式，得y12(1sin )212(1cos )2(1 11sin 1cos )2(1)232.(12sin 2)222当且仅当，1cos 1sin 即 时等号成立4【答案】 322三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设 x，y，zR，且1.x1216y225z324求 xyz 的最大值和最小值【解】 根据柯西不等式，知42()2225(x14)2(y25)2(z32)2，(4x14 5y252z32)2当且仅当，x116y25z34即 x，215y1，z或 x，y3，195115z
9、时等号成立115251(xyz2)2，|xyz2|5，3xyz7，即 xyz 的最大值为 7，最小值为3.18(本小题满分 12 分)设 x22y21，求 u(x，y)x2y 的最小值. 【导学号：94910045】【解】 由柯西不等式，有|u(x，y)|1xy|22.12x22y23得 umax，umin.33分别在，时取到(33，33) (33，33)19(本小题满分 12 分)求证： (n2)12131412n1n22【证明】 (1)当 n2 时， 0，不等式成立12(2)假设 nk(k2)时，原不等式成立即 ，1213141512k1k22则当 nk1 时，左边 12131412k11
10、2k1112k1212k12k1k2212k1112k1212k12k1k2212k12k12kk22.2k12kk12k122当 nk1 时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对 n2 的所有的自然数都成立故 (n2)12131412n1n2220(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)m|x2|，mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c 为正数，且 m，求证：a2b3c9.1a12b13c【解】 (1)因为 f(x2)m|x|，所以 f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m 有解，得 m0，且其解集为x|mxm又 f(x2)0 的解集为1,1，故
11、 m1.(2)证明：由(1)知 1，1a12b13c又 a，b，c 为正数，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)(1a12b13c)29.(a1a 2b12b 3c13c)21(本小题满分 12 分)已知正数 x，y，z 满足 xyz1.(1)求证： ；x2y2zy2z2xz2x2y13(2)求 4x4y4z2的最小值【解】 (1)证明：因为 x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)(xyz)2，(x2y2zy2z2xz2x2y)又因为 xyz1.所以 .x2y2zy2z2xz2x2yxyz2y2zz2xx2y13(2)由平均值不等式得 4x4y4z23，34xy
12、z2因为 xyz1，所以 xyz21zz2 ，(z12)23434故 4x4y4z233，34342当且仅当 xy ，z 时等号成立，1412所以 4x4y4z2的最小值为 3.222(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明1 1 n(nN)n2121312n12【证明】 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 1，1212 1 ，命题成立321232当 n2 时，左边1 2；右边 2 ，22125221 2k1.121312k12k112k212k2kk212k1k12又 1 k2k (k1)，121312k12k112k212k2k1212k12即 nk1 时，命题也成立由(1)(2)可知，命题对所有 nN都成立
