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1、学业分层测评学业分层测评( (一一) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.数列 5，9，17，33，x，中的 x 等于( )A.47 B.65C.63D.128【解析】 5221，9231，17241，33251，归纳可得：x26165.【答案】 B2.观察下列各式：7249，73343，742 401，则 72 016的末两位数字为( ) 【导学号：94210003】A.01B.43C.07D.49【解析】 7516 807，76117 649，由运算规律知末两位数字以 4 为周期重复出现，故 72 01674504，故其末两位数字为 01.【答案】 A3.已知数列an的前 n
2、项和 Snn2an(n2)，且 a11，通过计算a2，a3，a4，猜想 an( )A.B.2（n1）22n（n1）C.D.22n122n1【解析】 可以通过 Snn2an(n2)分别代入 n2，3，4，求得a2 ，a3 ，a4，猜想 an.13161102n（n1）【答案】 B4.我们把 1，4，9，16，25，这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图 116).图 116则第 n 个正方形数是( )A.n(n1)B.n(n1)C.n2D.(n1)2【解析】 观察前 5 个正方形数，恰好是序号的平方，所以第 n 个正方形数应为 n2.【答案】 C5.如图 1
3、17 所示，着色的三角形的个数依次构成数列an的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为( )图 117A.an3n1B.an3nC.an3n2nD.an3n12n3【解析】 a11，a23，a39，a427，猜想 an3n1.【答案】 A二、填空题6.设 f(x)，x11，xnf(xn1)(n2)，则 x2，x3，x4分别为_，2xx2猜想 xn_.【解析】 x2f(x1) ，x3f(x2) ，x4f(x3)212231224 ，xn.2 12122252n1【答案】 ， 2324252n17.根据给出的数塔，猜测 123 45697 等于_.19211，1293111，123941 111，
4、1 2349511 111，12 34596111 111.【解析】 由前 5 个等式知，右边各位数字均为 1，位数比前一个等式依次多 1 位，所以 123 456971 111 111.【答案】 1 111 1118.如图 118 所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有 n(n1，nN)个点，每个图形总的点数记为 an，则a6_，an_.图 118【解析】 依据图形特点可知当 n6 时，三角形各边上各有 6 个点，因此a636315.由 n2，3，4，5，6 时各图形的特点归纳得 an3n3(n2，nN).【答案】 15 3n3(n2，nN)三、解答题9.已知数列an
5、的前 n 项和为 Sn，a11，且 Sn120(n2)，计算1SnS1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式.【解】 当 n1 时，S1a11；当 n2 时，2S13，1S2S2 ；13当 n3 时，2S2 ，1S353S3 ；35当 n4 时，2S3 ，1S475S4 .57猜想：Sn(nN).2n32n110.已知 f(x)，分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)的值，13x 3然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】 由 f(x)，得 f(0)f(1)，13x 3130 3131 333f(1)f(2)，131 3132 333f(2)f(3).132 31
6、33 333归纳猜想一般性结论为 f(x)f(x1).33证明如下：f(x)f(x1)13x 313x1 33x1 33x13x1 333x33x113x1 3.33x133x133x13（1 33x）33能力提升1.(2016西安期末检测)平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为( )A.n1B.2nC.D.n2n1n2n22【解析】 1 条直线将平面分成 11 个区域；2 条直线最多可将平面分成1(12)4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域；，n 条直线最多可将平面分成 1(123n)1n（n1）2个区域，选 C.n2n22【
7、答案】 C2.(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第 57个数对是( ) 【导学号：94210004】A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为 2，共 1 个；(1，2)，(2，1)的和为 3，共 2 个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为 4，共 3 个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为 5，共 4 个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4
8、，2)，(5，1)的和为 6，共 5 个.由此可知，当数对中两个数字之和为 n 时，有 n1 个数对.易知第 57 个数对中两数之和为 12，且是两数之和为 12 的数对中的第 2 个数对，故为(2，10).【答案】 A3.如图 119，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图 119，如此继续下去，得图 119，试用 n 表示出第 n 个图形的边数 an_. 图 119【解析】 观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为 4 的等比数列，故 an34n1.【答案】 34n14.某同学在一次研究性学习中发现，以
9、下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】 (1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151 sin 301 .121434(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30) .34证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2sin cos sin2sin cos sin23432143212 sin2 cos2 .343434
