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1、学业分层测评学业分层测评(四四) 角度问题角度问题(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A BC90 D.180【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知 ，故应选 B.【答案】 B2在静水中划船的速度是每分钟 40 m，水流的速度是每分钟 20 m，如果船从岸边 A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A15 B30 C45 D.60【解析】 如图所示，sinCAB ，CAB30.204012【答案】 B3我舰在敌岛 A 处南
2、偏西 50的 B 处，且 A、B 距离为 12 海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西 10的方向以每小时 10 海里的速度航行，若我舰要用 2 小时追上敌舰，则速度大小为( )A28 海里/小时 B14 海里/小时C14海里/小时 D.20 海里/小时2【解析】 如图，设我舰在 C 处追上敌舰，速度为 v，在ABC 中，AC10220(海里)，AB12 海里，BAC120，BC2AB2AC22ABACcos 120784，BC28 海里，v14 海里/小时【答案】 B4地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点 D 出发，沿角的一边DA 行走 10 米后，拐弯往另一边的方向行走 14 米正好到达BDA
3、 的另一边 BD上的一点，我们将该点记为点 N，则 N 与 D 之间的距离为( ) 【导学号：33300020】A14 米 B15 米 C16 米 D.17 米【解析】 如图，设 DNx m，则 142102x2210xcos 60，x210x960.(x16)(x6)0.x16 或 x6(舍)N 与 D 之间的距离为 16 米【答案】 C二、填空题5(2015湖北高考)如图 1224，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m.图 122
4、4【解析】 由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得，解得 BC300 m.600sin 45BCsin 302在 RtBCD 中，CDBCtan 30300233100(m)6【答案】 10066某船在岸边 A 处向正东方向航行 x 海里后到达 B 处，然后朝南偏西 60方向航行 3 海里到达 C 处，若 A 处与 C 处的距离为海里，则 x 的值为3_【解析】 x292x3cos 30()2，3解得 x2或 x.33【答案】 或 2337一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方
5、向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_km.【解析】 如图所示，依题意有 AB15460，MAB30，AMB45，在AMB 中，由正弦定理得，60sin 45BMsin 30解得 BM30(km)2【答案】 3028一船自西向东航行，上午 10：00 到达灯塔 P 的南偏西 75、距塔 68 n mile 的 M 处，下午 14：00 到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为_n mile/h. 【导学号：33300021】【解析】 如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN 中，由正弦定理，得，MNsin 120
6、PMsin 45MN6834.32226又由 M 到 N 所用时间为 14104(h)，船的航行速度 v(n mile/h)34 64172 6【答案】 172 6三、解答题9平面内三个力 F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态已知 F1、F2的大小分别为 1 N、 N，F1与 F2的夹角为 45，求 F3的大小及 F3与 F16 22的夹角的大小【解】 如图，设 F1与 F2的合力为 F，则 F3F.BOC45，ABO135.在OBA 中，由余弦定理得|F|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 13542.3|F|1，即|F3|1.33又由正弦定理得sinBOA .|F2|sin
7、ABO|F|12BOA30.BOD150.故 F3的大小为(1)N，F1与 F3的夹角为 150.310. (2016焦作模拟)如图 1225，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政
8、船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救图 1225【解】 设ABD，在ABD 中，AD30，BD42，BAD60.由正弦定理得，ADsin BDsinBADsin sinBADsin 60，ADBD30425 314又ADBD，060，cos ，1sin21114cosBDCcos(60) .17在BDC 中，由余弦定理得BC2DC2BD22DCBDcosBDC40242224042cos(60)3 844，BC62 km，即渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所
9、在的位置 C 处实施营救能力提升1(2016湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D 两点处进行测量在 C 点测得塔底 B 在南偏西 80，塔顶仰角为 45，此人沿着南偏东 40方向前进 10 米到 D 点，测得塔顶的仰角为 30，则塔的高度为( )A5 米 B10 米 C15 米 D.20 米【解析】 如图，由题意得，AB平面 BCD，ABBC，ABBD.设塔高 ABx，在 RtABC 中，ACB45，所以 BCABx，在 RtABD 中，ADB30，BDx，ABtan 303在BCD 中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos 120，(x)2x210010x
10、，3解得 x10 或 x5(舍去)，故选 B.【答案】 B2甲船在岛 A 的正南 B 处，以每小时 4 千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.分钟 B.分钟1507157C21.5 分钟 D.2.15 小时【解析】 如图，设 t 小时后甲行驶到 D处，则 AD104t，乙行驶到 C 处，则 AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t100282.(t514)6757当 t时，DC2
11、最小，即 DC 最小，此时它们所航行的时间为60514514分钟1507【答案】 A3如图 1226 所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos _.图 1226【解析】 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.7由正弦定理ABsinACBBCsinBACsinACBsinBAC，ABBC217BAC120，则ACB
12、 为锐角，cosACB.2 77由 ACB30，则 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.2114【答案】 21144如图 1227，某军舰艇位于岛屿 A 的正西方 C 处，且与岛屿 A 相距120 海里经过侦察发现，国际海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿东偏北 60方向逃窜，同时，该军舰艇从 C 处出发沿东偏北 的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用 2 小时追上. 【导学号：33300022】图 1227(1)求该军舰艇的速度；(2)求 sin 的值【解】 (1)依题意知，CAB120，AB1002200，AC120，ACB，在ABC 中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得 BC280.所以该军舰艇的速度为140 海里/小时BC2(2)在ABC 中，由正弦定理，得，ABsin BCsin 120即 sin .ABsin 120BC200 322805 314
