《2015高中数学 1.5.3定积分的概念 学案（人教a版选修2-2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015高中数学 1.5.3定积分的概念 学案（人教a版选修2-2）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念2理解定积分的几何意义(难点)3掌握定积分的基本性质(重点)学法指导通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1定积分的概念 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0x1xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式f(i)xni1f(i)，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，bni1ban上的定积分，记作 f(x) dx，即 f(x)dx f(i)，其中，a 与 b
2、 分别叫做积分下b ab alimni1ban 限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式 2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么定积分 f(x)dx 表示由直线b a xa，xb，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 3定积分的性质(1)(k 为常数)；b akfxdxkb afxdx(2) f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx；b ab ab a(3) f(x)dx) f(x)dx) f(x)dx(其中 acb)b ac ac b1判断：(正确的打“” ，
3、错误的打“”)(1)定积分 f(x)dx 是一个常数( )b a(2)定积分 f(x)dx 的值等于由直线 xa，xb，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的b a 面积( )(3) (x22x)dx x2dx 2xdx.( )b ab ab a 答案：(1) (2) (3)2直线 x1，x2，y0 与曲线 y 围成曲边梯形的面积用定积分表示为( )1xA. 2dx B 0dx1 02 1Cdx Ddx2 01x2 11x 答案：D3关于定积分 a (2)dx 的叙述正确的是( )2 1 A被积函数为 y2，a6 B被积函数为 y2，a6 C被积函数为 y2，a6 D被积函数为 y2，a6
4、 答案：C4计算定积分 (2x)dx_.1 1 答案：4利用定义计算定积分利用定积分的定义，计算 x3dx 的值1 0(链接教材 P47例 1) 解 令 f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入 n1 个分点，把区间0,1等分成 n 个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为 x .i1n，inini1n1n(2)近似代替、求和取 i (i1,2，n)，则inx3dxSn( )x1 0n i1fin( )3 3n i1in1n1n4n i1i n2(n1)2 (1 )2.1n414141n(3)取极限x3dxSn (1 )2 .1 0limnlimn141n14方法归纳用定义法求定
5、积分的四个步骤是：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的左端点或右端点，求和时要注意一些求和公式的灵活运用1用定积分的定义证明 kdxk(ba)b a证明：令 f(x)k，用分点 ax0x1x2xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间xi1，xi(i1,2，n)，在每个小区间上任取一点 i(i1,2，n)作和式f(i)xkk(ba)，ni1ni1ban当 x0(亦即 n)时，k(ba)k(ba)， kdxk(ba)b a利用定积分的几何意义求定积分利用几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2) (3x1)dx.
6、3 39x23 1 解 (1)在平面上 y表示的几何图形为以原点为圆心以 3 为半径的上半圆，9x2其面积为 S 32.12由定积分的几何意义知dx .3 39x292(2)由直线 x1，x3，y0，以及 y3x1 所围成的图形，如图所示：(3x1)dx 表示由直线 x1，x3，y0 以及 y3x1 所围成的图形在 x 轴上方的3 1面积减去在 x 轴下方的面积， (3x1)dx3 1 (3 )(331) ( 1)212131213 16.50323方法归纳(1)利用几何意义求定积分，关键是准确理解被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积注意分割
7、点的准确性(2)一般地，如果图形的面积是直线段或圆弧围成时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要考虑函数的正负，是否具有对称性2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx；(2) cos xdx；(3) |x|dx.1 12 01 1解：(1)如图(1)，xdxA1A10.1 1(2)如图(2)， cos xdxA1A2A30.2 0(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A12 1.1 112(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)利用定积分的性质求定积分已知 x3dx ， x3dx， x2dx ， x2dx，求下列各式的值：1 0142 11542 1734 2563(1)
8、(3x3)dx；(2) (6x2)dx；(3) (3x22x3)dx.2 04 12 1解 (1) (3x3)dx2 03 x3dx2 03( x3dx x3dx)1 02 13( )12.14154(2) (6x2)dx6 x2dx4 14 16( x2dx x2dx)2 14 26( )126.73563(3) (3x22x3)dx2 1 (3x2)dx (2x3)dx2 12 13 x2dx2 x3dx2 12 13 2 .7315412方法归纳定积分与函数的奇偶性若函数 f(x)的奇偶性已经明确，且 f(x)在a，a上连续，则：(1)若函数 f(x)为奇函数，则f(x)dx0；a a(
9、2)若函数 f(x)为偶函数，则f(x)dx2 f(x)dx.a aa 03已知 f(x)g(x)dx12， g(x)dx6.b ab a求 3f(x)dx.b a解： f(x)dx g(x)dxb ab a f(x)g(x)dx，b a f(x)dx1266，b a 3f(x)dxb a3 f(x)dx3618.b a名师解题巧用定积分的几何意义求面积善于思考的小明发现：半径为 a，圆心在原点的圆，如果固定直径 AB，把圆内的所有与 轴平行的弦都压缩到原来的 b 倍，就得到一种新的图形椭圆他受祖冲之“割圆术”的 启发，采用“化整为零，积零为整” “化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆
10、的 面积，他求得的结果为_教你审题 椭圆方程y用x表示椭圆对称性第一象限面积用定积分表示 定积分几何意义及性质结果解析 由1(ab0)，得 y (axa)x2a2y2b2ba a2x2 于是椭圆在第一象限的部分与坐标轴围成的平面图形的面积为S1 dxdx，a 0ba a2x2baa 0a2x2令 g(0xa)，a2x2得 x2g2a2(0xa，g0)，依题意，得dx，a 0a2x2a24S1dxbaa 0a2x2 .baa24ab4由对称性得椭圆1(ab0)的面积为 S4S1ab.x2a2y2b2答案 ab 名师点评 本题利用定积分的几何意义求出椭圆面积，体现了“以直代曲” “无限逼近”的数学
11、思想学业水平训练1若 f(x)dx1， g(x)dx3，则 2f(x)g(x)dx( )b ab ab a A2 B3 C1 D4解析：选 C 2f(x)g(x)dx2 f(x)dx g(x)dx2131.b ab ab a2定积分 (3)dx 等于( )3 1 A6 B6 C3 D3解析：选 A. (3)dx(3) ( )6.3 1limnn i131nlimn6n6n6n3已知 xdx2，则xdx 等于( )t 00 t A0 B2 C1 D2 解析：选 Df(x)x 在t，t上是奇函数，xdx0.t t而xdxxdx xdx，t t0 tt 0又 xdx2，t 0xdx2.故选 D0 t
12、4图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A. 2xdx B. (2x1)dx1 01 0C (2x1)dx D (12x)dx1 01 0解析：选 B.根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为 2xdx 1dx (2x1)dx.1 01 01 05设 f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间a，a上的积分f(x)dx 等于( )a aA0 B2f(x)dx0 aC f(x)dx D f(x)dx0 aa 0解析：选 B. f(x)dxf(x)dx f(x)dx.a a0 aa 0f(x)是偶函数，根据定积分的几何意义知f(x)dx f(x)dx，0 aa 0f(x)dx2f(x)dx.a a0
13、 a 6不用计算，直接利用定积分的几何意义比较下面两个积分值的大小xdx_ x2dx.1 01 0 答案：7设 f(x)是连续函数，若 f(x)dx1， f(x)dx1，则 f(x)dx_.1 02 02 1解析：因为 f(x)dx f(x)dx f(x)dx，2 01 02 1所以 f(x)dx f(x)dx f(x)dx2.2 12 01 0 答案：28(2014天津高二检测)曲线 y 与直线 yx，x2 所围成的图形面积用定积分可表示1x 为_ 解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为xdxdx (x )dx.2 12 11x2 11x答案： (x )dx2 11x 9用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：解：(1) sin xdx.(2) x2dx.2 412(3) x dx x dx.9 4129 41210用定积分表示曲线 y 与直线 yx3 所围成的图形的面积2x解：解方程组Error!Error!得到交点横坐标为 x1 和 x2.如图所示曲边梯形面积为dx，2 12x梯形面积为 (x3)dx，2 1所以阴影面积为 (x3)dxdx2 12 12x
