《2015届高考苏教版数学（理）大一轮配套讲义：第14章 矩阵与变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考苏教版数学（理）大一轮配套讲义：第14章 矩阵与变换（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四章 矩阵与变换第一节矩阵及其变换对应学生用书 P1761乘法规则(1)行矩阵a11 a12与列矩阵的乘法法则：b11 b21a11 a12a11b11a12b21b11 b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：a11 a12 a21 a22x0 y0.a11 a12 a21 a22x0 y0 a11x0a12y0 a21x0a22y0(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：.a11 a12 a21 a22b11 b12 b21 b22 a11b11a12b21 a11b12a12b22 a21b11a22b21 a21b12a22b22(4)两个二阶矩阵的乘法满足
2、结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAkl(其中 k，lN*)2常见的平面变换(1)恒等变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等1 0 0 1x y x y1 0 0 1变换(2)反射变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵1 0 0 1x y x y表示关于 y 轴的反射变换；类似地，分别表示关于 x 轴、直1 0 0 11 0 0 1 0， 1 1 0 0， 1 1 0线 yx 和直线 yx 的反射变换(3)伸缩变换：因为，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的1 0 0 kx y x
3、ky横坐标不变，纵坐标变成原来的 k 倍，故矩阵表示 y 轴方向上的伸缩变换；类似地，1， 0 0 k矩阵可以用来表示水平伸缩变换s 0 0 1(4)旋转变换：把点 A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转 角的变换，对应的矩阵是.cos sin sin cos (5)切变变换：表示的是沿 x 轴的切变变换沿 y 轴的切变变换对应的1 s 0 1x y xsy y矩阵是.1 0 t 1(6)投影变换：，该变换把所有横坐标为 x 的点都映射到了点(x,0)上，因此1 0 0 0x y x 0矩阵表示的是 x 轴上的投影变换类似地，表示的是 y 轴上的投影变换1 0 0 00 0 0 11二阶矩阵的乘法
4、运算律中，易忽视 ABBA，ABAC/ BC，但满足(AB)CA(BC)2易混淆绕原点逆时针旋转 90的变换与绕原点顺时针旋转 90的变换试一试1已知 A，B，C.求 AB 和 AC.2 3 4 68 4 5 55 2 3 1解：AB，2 3 4 68 4 5 5 1 7 2 14AC.2 3 4 65 2 3 1 1 7 2 142(2014福建龙岩模拟)已知点 A 在变换 T：作用后，再绕原点逆时x y x y x2y y针旋转 90，得到点 B，若点 B 的坐标为(3,4)，求点 A 的坐标解：.0 1 1 01 2 0 1 0 1 1 2设 A(a，b)，则由，得Error!Error
5、!0 1 1 2a b 3 4所以Error!Error!，即 A(2,3)待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用练一练1(2014扬州模拟)已知矩阵 A，B，若矩阵 AB 对应的变换把直线1 0 0 21 12 0 1l：xy20 变为直线 l，求直线 l的方程解：易得 AB，在直线 l 上任取一点 P(x，y)，经矩阵 AB 变换1 0 0 21 12 0 1 1 12 0 2为点 Q(x，y)，则，x y1 12 0 2x yx12y 2yError!Error!即Error!E
6、rror!代入 xy20 中得 x y 20，14y2直线 l的方程为 4xy80.对应学生用书 P177考点一二阶矩阵的性质与运算典例 求使等式M成立的矩阵 M.2 4 3 5 2 0 0 1 1 0 0 1解 设 M，m n p q则M，2 4 3 5 2 0 0 1 1 0 0 1 2m 2n p q则Error!Error!Error!Error!即 M.1 2 3 5备课札记 类题通法1矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等2矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律针对训练已知矩阵 A，向量 .求向量 ，使得 A2.1 1 2 11 2解：A2.
7、1 1 2 11 1 2 1 3 2 4 3设 .由 A2，x y得，3 2 4 3x y 1 2从而Error!Error! 解得 x1，y2，所以 .1 2考点二平面图形的变换典例 在直角坐标系中，已知ABC 的顶点坐标为 A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求ABC在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形ABC的面积，其中 M，N.2 0 0 20 1 1 0解：因为ABC 在 MN 作用下变换为ABC，且 MN，2 0 0 20 1 1 0 0 2 2 0所以，0 2 2 00 0 0 0，0 2 2 02 0 0 4.0 2 2 02 1 2 4即 A(0,0)，B(0,4)，C(
8、2,4)可得 SABC4.所以ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得的图形的面积为 4.备课札记 类题通法1对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换2伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合针对训练在直角坐标系中，已知椭圆 x24y21，矩阵 M，N，求椭圆0 1 1 00 2 1 0x24y21，在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积解：MN.0 1 1 00 2 1 0 1 0 0 2设(x0，y0)为椭圆 x24y21 上任一点，
9、它在 MN 的作用下所对应的点为(x，y)，则，x y 1 0 0 2x0 y0 x0 2y0Error!Error!即Error!Error!代入 x 4y 1，得 x2y21，2 02 0在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积为 .考点三矩阵变换的应用典例 (2013福建高考)已知直线 l：axy1 在矩阵 A对应的变换作用下变为1 2 0 1直线 l：xby1.(1)求实数 a，b 的值；(2)若点 P(x0，y0)在直线 l 上，且 A，求点 P 的坐标x0 y0 x0 y0解 (1)设直线 l：axy1 上任意点 M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用下的像是M(x，y)由，得E
10、rror!Error!x y 1 2 0 1x y x2y y又点 M(x，y)在 l上，所以 xby1，即 x(b2)y1，依题意得Error!Error!解得Error!Error!(2)由 A，得Error!Error!解得 y00.x0 y0 x0 y0又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x01.故点 P 的坐标为(1,0)备课札记 类题通法1在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆2曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变
11、换公式针对训练(2014江苏横山桥中学模拟)已知 M，N，设曲线 ysin x 在矩阵 MN 对1 0 0 212 0 0 1应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程解：由题设得 MN1 0 0 212 0 0 1 12 0 0 2设所求曲线 F 上任意一点的坐标为(x，y)，ysin x 上任意一点的坐标为(x，y)，则 MN，解得Error!Error!x y12 0 0 2x y x y把Error!Error!代入 ysin x，化简得 y2sin 2x.所以，曲线 F 的方程为 y2sin 2x.对应学生用书 P178课堂练通考点1(2014福州模拟)将曲线 xy1 绕坐标原点按逆
12、时针方向旋转 45，求所得曲线的方程解：由题意，得旋转变换矩阵 M，cos 45 sin 45 sin 45 cos 452222 2222设 xy1 上的任意点 P(x，y)在变换矩阵 M 作用下为 P(x，y)，2222 2222x y，x yError!Error!得1.y22x22故将曲线 xy1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45，所得曲线的方程为1.y22x222已知 a，b 为实数，如果 A所对应的变换 T 把直线 xy1 变换为自身，试a 1 0 b求 a，b 的值解：设点(x，y)是直线 xy1 上任意一点在变换 T 作用下的对应点为(x，y)，则，Error!Error!a
13、1 0 bx y x y由题意 xy1，axyby1，即 ax(1b)y1，Error!Error!Error!Error!3已知ABC 的三个顶点 A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，ABC 在矩阵 M对应的变1 0 0 2换作用下变为ABC，求ABC的面积解：由题意，1 0 0 20 0 0 0，1 0 0 24 0 4 0，1 0 0 20 3 0 6 A(0,0)，B(4,0)，C(0,6)，SABC 4612.12课下提升考能1设 M，N，若 MN，求 x，y，p，q.6 pq pq 5xy 1 1 xy解析：MN，Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!2曲线 C1：x22y21 在矩阵 M的作用下变换为曲线 C2，求 C2的方程1 2 0 1解：设 P(x，y)为曲线 C2上任意一点，P(x，y)为曲线 C1上与 P 对应的点，则，即Error!Error!Error!Error!1 2 0 1x y x yP
