《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第8章 第9节 空间向量的应用(二)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第8章 第9节 空间向量的应用(二)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节第九节 空间向量的应用空间向量的应用( (二二) )知识梳理 一、利用向量证明平行一、利用向量证明平行 1证线线平行(面面平行)方法：a ab b(b b0) a ab b. 2证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个 向量a a，b b不共线，则向量c c与向量a a，b b共面的充要条件是存 在实数对x，y，使c cxa ayb b.(法二)证平面的法向量与该直线 垂直 二、利用向量证明垂直二、利用向量证明垂直 1证线线垂直方法：a ab b0a ab b. 2证线面垂直方法：转化为证线线垂直 三、利用向量求距离三、利用向量求距离 1求点到平面的距离：已知AB为平面的一条斜
2、线段， C为点A在平面的射影，n n为平面的法向量，则A到平面的距离d.|AC|ABn n|n n| 2求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求 3求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求 4.两条异面直线距离：分别在直线a，b上取定向量a a，b b，1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平 行关系 2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线 定理) 3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计 算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用求与向量a a，b b都垂直的向量n n，分别在a，b上各取一个定点A，B，则异
3、面直线a，b间的距离d等于在n n上的射影长，即ABd.|ABn n|n n|基础自测 1已知直线a的方向向量为a a，平面的法向量为n n，下 列结论成立的是( ) A若a an n，则a B若a an n0，则a C若a an n，则a D若a an n0，则a解析：解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选 项 D，直线a平面也满足a an n0. 答案：答案：C2向量a a (2，3,1)，b b(2,0,4)， c c(4，6,2)，下列结论正确的是( ) Aa ab b，b bc c Ba ab b，a ac c Ca ac c，a ab b D以上都不对解析：解析：因
4、为c c2a a，a ab b0，所以a ac c，a ab b，故选 C. 答案：答案：C3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点， 则点A1到平面MBD的距离是_答案：答案：a 664已知矩形 ABCD 中，AB1，BCa(a0)，PA平面 AC，且 PA1，若在 BC 边上存在一点 Q，使得 PQQD，则 a 的 取值范围是_.答案：答案：4.2，)1(2012大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距2 离为 ( ) A2 B. C. D132解析：解析：由已知可得AC14，取AC与BD
5、的中点O，连接 OE，显然有AC1OE且平面ACC1A1平面BED，AC1与平面BED 的距离即为AC1与OE的距离，又AB2，CC12，AC22 ，CC1AC，平面AA1C1C为正方形，AC1与平面BED的距2离为CA11.故选 D.1 4 答案：答案：D2(2013北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C是边长为 4 的正方形，平面ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5. (1)求证：AA1平面ABC； (2)求二面角A1BC1B1的余弦值； (3)证明：证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值BD BC1(1)证明：证明：因为AA1C1C为正方形，
6、所以AA1AC， 因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交 线AC， 所以AA1平面ABC. (2)解析：解析：由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知 AB3，BC5，AC4.所以ABAC.如图，以A为原点建立空 间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)A1BA1C1设平面A1BC1的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error! 得x0，令z3，则y4，所以n n(0,4,3) 同理可得，平面BB1C1的法向量为m m(3,4,0)，所以 cosn n，m m.n n
7、m m |n n|m m|16 25 由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.16 25(3)证明：证明：设D(x1，y1，z1)是直线BC1上一点，且BD.则由(1)可得(x1，y13，z1)(4，3,4)解得BC1x14，y133，z14.所以(4，33，4)AD由0，即 9250.解得.ADA1B9 25因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此9 25时.BD BC19 251在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点， 则点C到平面A1DM的距离为( ) A.a B.a C.a D.a6366221 2答案答案：A2(2
8、013梅州二模)如图，侧棱垂直底面的三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AA1ABAC3，ABACt(t0)(1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1；(2)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t1010 的值(1)证明：证明：因为AA1面ABC，所以AA1AC，AA1AB.又因 为ABAC，所以分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建 立空间直角坐标系 则A(0,0,0)，C1(0,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，所以(0,1，1)，(0,1,1)，(1,0,0)，A1CAC1AB所以0，0，A1CAC1A1CAB所以，.A1C
9、AC1A1CAB又因为AC1ABA， 所以A1C平面ABC1. (2)解析：解析：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立 空间直角坐标系则A(0,0,0)，C1(0，t,32t)，B(t,0,0)， C(0，t,0)，A1(0,0,32t)，所以(0，t,2t3)，(0，t,32t)，A1CAC1(t,0,0)，(0,0,32t)，(t，t,0)ABCC1BC设平面ABC1的法向量m m(x，y，z)， 则Error!即Error! 令zt，则m m(0,2t3，t) 同理可求平面BCC1的法向量n n(1,1,0) 设二面角ABC1C的平面角为，则有|cos |.|n nm m |n n|m m|2t3|2 t22t321010化简得 5t216t120，解得t2(舍去)或t .6 5所以当t 时，二面角ABC1C的平面角的余弦值为.6 51010
