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1、第八节第八节 空间向量的应用空间向量的应用( (一一) )知识梳理 一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角 1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作 直线aa，bb，a，b所成的角的大小与点O的选择 无关，把a，b所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成 的角(或夹角)为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条 上2异面直线所成的角的取值范围：.(0， 2 3求异面直线所成的角的方法：几何法；向量法 二、直线和平面所成的角二、直线和平面所成的角1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角； 当一直
2、线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为 0 角2直线和平面所成角的取值范围：.0， 2 三、二面角三、二面角 1定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角 的大小或它的一种三角函数值.每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做 二面角的面若棱为l，两个面分别为，的二面角记为 l. 2二面角的平面角(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两 条垂线OA，OB，则AOB叫做二面角l的平面角 (2)一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交 线分别
3、为OA，OB，O为垂足，则AOB就是l的平面角 说明：二面角的平面角范围是0，； 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二 面角的两个平面互相垂直 3二面角大小的求法：几何法；向量法4求二面角的射影公式：cos ，S S 其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的 面积，S是图形F在二面角的另一个面内的射影，是二面 角的平面角大小 四、三种空间角的向量法计算公式四、三种空间角的向量法计算公式 1异面直线a，b所成的角：cos (其|cosa a，b b|中a a，b b分别是异面直线a，b的方向向量) 2直线a与平面(其法向量为n n)所成的角：sin .|cosa a，n n
4、|3锐二面角：(法一)cos ，其中|cosm m，n n|m m，n n为两个面的法向量 (法二)cos ，其中a a，b b是分别在两个面|cosa a，b b|内且与棱都垂直的向量基础自测 1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120，则直线l与平面所成的角等于( ) A120 B60 C30 D60或 30解析：解析：根据线面角的定义知，选项 C 正确 答案：答案：C2(2013山东卷)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C19 43 的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A. B. C. D.5 12 3
5、4 6解析：解析：如题图所示：SABC sin 60.1 2333 34所以VABCA1B1C1SABCOPOP ，3 349 4 OP.3又OA 1，3232 3所以 tanOAP，又 0OAP，所以OAP.OP OA3 2 3答案：答案：B3如图，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，侧棱 AA1，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切2 值为_答案：答案：1 34如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知 AB4，AD3，AA12.E，F分别是线段AB，BC上的点，且 EBFB1.则：(1)二面角CDEC1的余弦值为_； (2)直线 EC1 与 FD1 所成角的
6、余弦值_.解析：解析：(1)如图，以A为原点， ， ，分别为x轴、yABADAA1轴、z轴的正向建立空间直角坐标系Axyz，则有D(0,3,0)， D1(0，3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)于是，(3，3,0)，(1,3,2)，DEEC1(4,2,2)FD1设向量n n(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有Error!Error!xyz.1 2n n (1，1,2)，其中z0.(z 2，z 2，z)z 2 取n n0(1，1,2)，则n n0是一个与平面C1DE垂直的向 量向量(0,0,2)与平面CDE垂直，AA1n n0与所成的角为二面角CDEC1的平面角AA
7、1cos n n0AA1|n n0| |AA1|1 01 02 2114 004.63 (2)设EC1与FD1所成角为，则cos EC1FD1|EC1| |FD1|1 43 22 2123222 422222.2114答案：答案：(1) (2)6321141. (2012陕西卷)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值 为( ) A. B. C. D.55532 553 5解析：解析：设CBa，则CACC12a，A(2a,0,0)，B(0,0，a)， C1(0,2a，0)，B1(0,2a，a)，(2a,2a，a)，(0,2a
8、，a)AB1BC1cos，.故选 A.AB1BC1AB1BC1|AB1|BC1|55 答案：答案：A2(2013广东卷)如图 1，在等腰直角三角形ABC中， A90，BC6，D，E分别是AC、AB上的点， CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图 22 所示的四棱锥ABCDE，其中AO.3 (1)证明：证明：AO平面BCDE； (2)求二面角ACDB的平面角的余弦值(1)证明：证明：在题图 1 中，易得OC3，AC3，AD2，22 连接OD，OE，在OCD中，由余弦定理可得 OD，OC2CD22OCCDcos 455 由翻折不变性可知AD2，2 所以AO2OD2AD2，所以AOOD
9、， 同理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE. (2)解析：解析：(法一)(几何法)过O作OHCD交CD的延长线于 H，连接AH， 因为AO平面BCED，所以AHCD， 所以AHO为二面角ACDB的平面角结合题图可知，H为AC中点，故OH，3 22从而AH，OH2OA2302所以 cosAHO，所以二面角ACDB的平面OH AH155角的余弦值为.155 (法二)(向量法)以点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，则A(0,0，)，C(0，3,0)，D(1，2,0)，3所以(0,3，)，(1,2，)CA3DA3设n n(x，y，z)为平面的法向量，则ACDError!即E
10、rror!解得Error!令x1，得n n(1，1，)，3由(1)知，(0,0，)为平面CDB的一个法向量，OA3所以 cosn n，OAn nOA|n n|OA|33 5155即二面角的平面角ACDB的余弦值为.1551如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱 形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.3(1)证明：证明：平面PBE平面PAB； (2)求二面角ABEP的大小(法一)(1)证明：证明：连接BD，由ABCD是菱形且BCD60 知，BCD是等边三角形 因为E是CD的中点，所以BECD.又ABCD，所以 BEAB. 又因为PA平面ABCD，BE平面AB
11、CD， 所以PABE，而PAABA，因此 BE平面PAB. 又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB. (2)解析：解析：由(1)知，BE平面PAB, PB平面PAB, 所以 PBBE. 又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在 RtPAB中， tanPBA，PBA60.PA AB3 故二面角ABEP的大小为 60. (法二)如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D，P(0,0，)，E.(3 2，32，0)(1 2，32，0)3(1，32，0)(1)证明：证明：因为，平面PAB的一个法向量是BE(0，32，0)n n0(
12、0,1,0)，所以和n n0共线BE从而BE平面PAB. 又因为BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.(2)解析：解析：易知(1,0，)，设PB3BE(0，32，0)n n1(x1，y1，z1)是平面PBE的一个法向量，则由Error!得， Error! 所以y10，x1z1.3 故可取n n1(，0,1)而平面ABE的一个法向量是3 n n2(0,0,1)于是，cosn n1，n n2 .n n1n n2 |n n1|n n2|1 2 故二面角ABEP的大小为 60.2(2013深圳一模)如图 1，O的直径AB4，点C、D 为O上两点，且CAB45，DAB60，F为的中BC 点沿直径AB
13、折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图 2)(1)求证：OF平面ACD； (2)求二面角CADB的余弦值； (3)在上是否存在点G，使得FG平面ACD？若存在，试BD 指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若 不存在，请说明理由(1)证明：证明：如图，因为CAB45，连接OC，则OCAB. 以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0，2,0)， C(0,0,2)(0,0,2)(0，2,0)(0,2,2)，AC因为点F为的中点，所以点F的坐标为(0， ，)，BC22(0， ，)所以，即OFAC.OF22OF22AC因为OF
14、平面ACD，AC平面ACD， 所以OF平面ACD. (2)解析：解析：因为DAB60，所以点D的坐标D(，1,0)，(，1,0)3AD3 设二面角CADB的大小为，n n1(x，y，z)为平面ACD的一个法向量 由Error!有Error! 即Error! 取x1，解得y，z.所以n n1(1， 33 ，)33 取平面ADB的一个法向量n n2(0,0,1)，所以 cos |n n1n n2| |n n1|n n2|.|1 0 3 0 3 1|7 1217 (3)解析：解析：设在上存在点G，使得FG平面ACD，OFBD 平面ACD，平面OFG平面ACD，则有OGAD.设(0)，因为(，1,0)，所以OGADAD3(，0)OG3又因为|2，所以2，解得OG 32202 1(舍去1)所以，(，1,0)则G为的中点OG3BD 因此，在上存在点G，使得FG平面ACD，且点G为BD 的中点BD 设直线AG与平面ACD所成角为，因为，(，1,0)(0，2,0)(，3,0)，AG33 根据(2)的计算n n1(1，)为平面ACD的
