《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第5章 第6节 数列的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第5章 第6节 数列的综合问题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节第六节 数列的综合问题数列的综合问题知识梳理 一、等差、等比数列的一些重要结论 1等差数列an中，若mnpq，则amanapaq. 2等比数列an中，若mnpq，则amanapaq. 3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等差数列 4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，S4m S3m，仍为等比数列(m为偶数 且公比为1 的情况除外) 5两个等差数列an与bn的和、差构成的数列anbn， anbn仍为等差数列 6两个等比数列an与bn的积、商、倒数构成的数列anbn，仍为等比数列an bn 1
2、bn 7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数 列 8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数 列 9若an为等差数列，则(c0)是等比数列can10若bn(bn0)是等比数列，则logcbn(c0 且c1)是 等差数列 二、几个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法：ad，a，ad；四个数成等差的设 法：a3d，ad，ad，a3d.三个数成等比的设法： ，a，aq；四个数成等比的设法：a q在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用相 关知识解决相应的问题.，aq，aq3(因为其公比为q20，对于公比为负的情况不能a q3a q 包括) 三、用函数的观点
3、理解等差数列、等比数列 1对于等差数列ana1(n1)ddn(a1d)，当d0 时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的 若干个离散的点；当d0 时，函数是单调增函数，对应的数列 是单调递增数列；当d0 时，函数是常数函数，对应的数列是 常数列；当d0 时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数 列 若等差数列的前n项和为Sn，则 Snpn2qn(p，qR R)当p0 时，an为常数列；当p0 时， 可用二次函数的方法解决等差数列问题 2对于等比数列ana1qn1，可用指数函数的性质来理 解 当a10，q1 或a10,0q1 时，等比数列an是单调 递增数列； 当a10,0
4、q1 或a10，q1 时，等比数列an是单调 递减数列； 当q1 时，是一个常数列； 当q0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列 四、数列应用的常见模型 1等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差 2等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比 3递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系 不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系， 或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系基础自测 1设an，bn分别为等差数列与等比数列， a1b14，a4b41，则下列结
5、论正确的是( ) Aa2b2 Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析：解析：设an的公差为d，bn的公比为q，由题可得d1， q，于是a23b22.故选 A.32232 答案：答案：A2设数列an的前n项和为Sn(nN N*)，关于数列an有下 列三个命题： 若数列an既是等差数列又是等比数列，则anan1； 若Snan2bn(a，bR R)，则数列an是等差数列； 若Sn1(1)n，则数列an是等比数列 这些命题中，真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3解析：解析：不妨设数列an的前三项为ad，a，ad，则其 又成等比数列，故a2a2d2，d0，即anan1，为真命 题由Sn的公式，可
6、求出an(2n1)ab，故an是等差数 列，为真命题由Sn可求出an2(1)n1，故数列an是 等比数列，为真命题故选 D. 答案：答案：D3在数列和中，bn是an与an1的等差中项，anbna12 且对任意nN N*都有 3an1an0，则数列的通项公bn式为 _.答案：答案：bn43n(nN N*)4. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据 64MB 内存 (1MB210KB)解析：解析：依题意可知： a02，a122，a223，an2n1，64MB64210216KB， 令 2
7、n1216，得n15.开机后 45 分钟该病毒占据 64MB 内存 答案：答案：451(2013福建卷)已知等比数列an的公比为q，记 bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN N*)，则以下结论一定正确的是( ) A数列bn为等差数列，公差为qm B数列bn为等比数列，公比为q2m C数列cn为等比数列，公比为qm2 D数列cn为等比数列，公比为qmn解析：解析：bnam(n1)(qq2qm)qbn1 bnamnqq2qm amn1qq2qmamn amn1m(常数)而bn1bn不是常数又cn(am(n1)mq12mm，(amn
8、1qm1 2)m(qm)mqm2(常数)而cn1cncn1 cn(amn amn1) 不是常数故选 C. 答案：答案：C2(2012江西卷)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN N*)，且Sn的最大值为 8.1 2 (1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.92an 2n解析：解析：(1)当nkN N*时，Snn2kn取最大值，即 1 28k2k2k2，故 k4，从而1 21 2anSnSn1 n(n2)又a1S1 符合上式，9 27 2an n(nN N*)92(2)令bn，则Tnb1b2bn1 92an 2nn 2n12 2，3 22n1 2n2n 2n1Tn2TnT
9、n21 41 21 2n2n 2n11 2n24.n 2n1n2 2n11(2013广州二模)数列an的项是由 1 或 2 构成，且首 项为 1，在第k个 1 和第k1 个 1 之间有 2k1 个 2，即数列 an 为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，记数列 an的前 n项和为Sn，则S20_； S2 013_.解析：解析：设f(k)2k1，则数列为 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1， 所以前 20 项中共有 16 个 2,4 个 1，所以 S201624136. 记第k个 1 与其后面的k个 2 组成第k组，其组内元素个 数记为bk，则bk2k， b1b
10、2bn242nn(n1)2 013， 而 46452 0802 011,47462 1622 013， 故n45 即前 2 011 项中有 45 个 1 以及 1 968 个 2，所以 S2 013451 96823 981. 答案：答案：36 3 9812已知数列an，bn中，对任何正整数n都有 a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1. (1)若数列bn是首项为 1 和公比为 2 的等比数列，求数列 an的通项公式(2)若数列an是等差数列，数列bn是否是等比数列？若 是，请求出通项公式；若不是，请说明理由(3)求证： .n i11 aibi3 2(1)解析：解析：依题意
11、，数列bn的通项公式为bn2n1， 由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1， 可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11 ，(n 2)两式相减，可得anbnn2n1，即ann. 当n1 时，a11，从而对一切nN N*，都有ann. 所以数列an的通项公式是ann(nN N*) (2)解析：解析：(法一)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 则ana1(n1)d. 由(1)得anbnn2n1，即bn.n2n1 a1n1d(n 2)bn.n2n1 a1dnd2n1 a1d nd要使是一个与n无关的常数，当且仅当a1d0，即bn1 bn 当等差数列an满足a1
12、d0 时，数列bn是等比数列，其通项公式是bn；2n1 d 当等差数列an满足a1d时，数列bn不是等比数列 (法二)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则 ana1(n1)d. 由(1)得anbnn2n1，即bn.n2n1 a1n1d(n 2) 若数列bn是等比数列，则，bn1 bn2dn2a1na1d dn2a1n要使上述比值是一个与n无关的常数，需且只需 a1d0，即当等差数列an满足a1d0 时，数列bn是等比数列，其通项公式是bn；2n1d 当等差数列an满足a1d时，数列bn不是等比数列 (3)证明：证明：由(1)知anbnn2n1，n i11 aibi1 1 11 2 21 3 221 4 23，1 n 2n1n i11 aibi1 1 11 2 21 2 221 2 23 1 2 2n11 11 41 8 ，1(12)n21121 11 41 432(n 3)当n1 时，1 ，1 a1b13 2当n2 时，1 ，1 a1b11 a2b21 45 43 2故 .n i11 aibi3 2
