《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第3章 第8节 解三角形的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第3章 第8节 解三角形的应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节第八节 解三角形的应用解三角形的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识梳理一、实际问题中的相关术语、名称1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角.如下图12方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北 偏西 45，西偏北 60等3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上 方的角叫做仰角视线在水平线下方的角叫做俯角.如下图2(3)4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数如图(3)，角 为坡角坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比如图(3)，i 为坡hl 比二、正、余弦定理可以解决的实际问题距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶
2、部不能到达)、角度 (航海或航空定位)、面积等基础自测1已知 A，B 两地的距离为 a，B，C 两地的距离为 3a，现测得ABC 为锐角，且 sinABC，则 A，C 两地的距2 23离是( )A.a B.a C2a D2a2323解析：由ABC 为锐角，sinABC得 cosABC .2 2313余弦定理知AC2a29a22a3acosABC10a26a2 8a2，所以13AC2a.2答案：C2如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且 A，B 两点之间的距离为60m，则树的高度 h 为 ( )A(153)m B(3015)m3
3、3C(3030)m D(1530)m33解析：由正弦定理可得，60sin4530PBsin 30即 PB，60 12sin 1530sin 15hPBsin 45(3030) m故选 C.30sin 45sin 153答案：C3在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45，再向塔底方向前进 100 m，又测得塔尖的仰角为 60，则此电视塔高约为_解析：如图，D45，ACB60，DC100 m，DAC15，因为 AC，所以 ABACsin 60，DCsin 45sin 1550(3) m.100sin 45sin 60sin 15100 22326 243答案：50(3) m34如图所示，已知
4、两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为_解析：易知ACB120，在ABC 中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a23a2，(12)ABa(km)3答案：a km31在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标点 C，若 CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为_ 千米答案答案: :62.(2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先 从 A 沿索
5、道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙 两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在 甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再 从匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A，cos C .121335(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙 步行的速度应控制在什么范围内？解析：(法一)(1)cos A，cos C ，A，C，12133
6、5(0，2)sin A，sin C ，51345sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，6365根据得 ABsin C1 040 m.ABsin CACsin BACsin B(2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙距离为 d，则d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)，1213d2200(37t270t50)，0t，即 0t8，1 040130t时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最35373537短(3)由正弦定理得，BCsin AACsin BBCsin A500(m)，ACsin B1 2606365513乙从 B 出发时，甲
7、已经走了 50(281)550(m)，还需走 710 m，才能到达 C.设乙的步行速度为 V m/min，则3，|500v71050|33，.500710501 2504362514为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在范围内1 25043，62514(法二)(1)如图作 BDCA 于点 D，设 BD20k，则DC15k，AD48k，AB52k，由 AC63k1 260 m，知：AB52k1 040 m.(2)设乙出发 x 分钟后到达点 M，此时甲到达 N 点，如图所示则：AM130 x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcos
8、A7 400 x214 000 x10 000，其中 0x8 ，当 x(min)时，MN 最小，此时乙在缆3537车上与甲的距离最短(3)由(1)知：BC500 m，甲到 C 用时：(min)1 260501265若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在12651415BC 上用时： (min)865此时乙的速度最小，且为：500 m/min.8651 25043若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在12651115BC 上用时： (min)565此时乙的速度最大，且为：500 m/min.56562514故乙步行的速度应控制在范围内1 25043，62514
9、1(2013广州一模)如图，一条河的两岸平行，河的宽度d600 m，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已 知|AB|1 km，水流速度为 2 km/h，若客船行驶完航程所用最 短时间为 6 min，则客船在静水中的速度大小为( )A8 km/hB6 km/h2C2 km/hD10 km/h34解析：设客船在静水中的速度大小是 x km/h，由题意得，解得 x6 km/h.x262261 000260026002答案：B2已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的 距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏西 40处，A，B 两船间的距离 为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为_km.解析：如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设 BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即 3222x222xcos 120，整理得 x22x50，解得 x1(舍去 x1)66答案：1 6
