《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第7章 第11节 轨迹方程的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第7章 第11节 轨迹方程的求法（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一节第十一节 轨迹方程的求法轨迹方程的求法了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.知识梳理一、 “曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了 如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲 线二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符 合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何 条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题 除了考查学生对
2、圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外， 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能 力它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未 知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的 方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨 迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻 找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻 找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运 用(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐 标 M(x，y)；列
3、几何等式：写出适合条件的点的集合 PM|P(M)， 关键是根据条件列出适合条件的等式；化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；化简：把方程 f(x，y)0 化成最简形式；证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤可以 省略不写如有特殊情况，可适当加以说明，步骤也可省 略(2)求曲线轨迹方程应注意的问题要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方 程注明 x 的取值范围，或同时注明 x，y 的取值范围，保证轨迹 的纯粹性；若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅 要求出方程，而且要指明曲线的
4、位置、类型基础自测1(2013衡水中学模拟)下列说法正确的是( )A在ABC 中，已知 A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则 AB 边上的高的方程是 x2B方程 yx2(x0)的曲线是抛物线C已知平面上两定点 A、B，动点 P 满足|PA|PB| |AB|，则 P 点的轨迹是双曲线12D第一、三象限角平分线的方程是 yx解析：A 选项中高线为线段，B 选项中为抛物线的一部分，C 选项中是双曲线的一支故选 D.答案：D2已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足x2，则点 P 的轨迹是( )PAPBA圆 B椭圆C抛物线 D双曲线解析：设动点 P 的坐标为(x，y)，则(2
5、x，y)，PA(3x，y)，由x2，得 y2x6.故选 C.PBPAPB答案：C3已知椭圆1 的左、右两个焦点分别是x24y23F1，F2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长 F1P 到 Q，使得|PQ|F2P|，则 Q 的轨迹方程是_解析：提示：用定义法求轨迹方程答案：(x1)2y2161曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F2(1,0)的距离 的积等于常数 a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_解析： 曲线 C 经过原点，这点不难验证是错
6、误的，如果经过原点，那么 a1，与条件不符；曲线 C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积 SF1F2P，因为 Sa22F1F2P |PF1|PF2|sinF1PF2 |PF1|PF2|.所以正1212a22确答案：2(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段长为 2.23(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为，求圆 P 的方程22解析：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.则 y22r2，x
7、23r2.y22x23，即 y2x21.P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P 的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.|x0y0|222y0x01，即 y0x01.当 y0x01 时，由 y x 1 得(x01)2x 1.2 02 02 0Error!Error!r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.当 y0x01 时，由 y x 1 得(x01)2x 1.2 02 02 0Error!Error!r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.综上所述，圆 P 的方程为 x2(y1)23.1(2013盐城模拟)设 M、N 为拋物线 C：yx2上的两个动点，过 M、N 分别作拋
8、物线 C 的切线 l1、l2，与 x 轴分别交于 A、B 两点，且 l1与 l2相交于点 P，若 AB1.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)求证：MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值(1)解析：y2x，设 M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线 l1，l2的斜率分别为 k12m，k22n，切线方程分别为y2mxm2，y2nxn2，则 A，B，设 P(x，y)，由Error!Error!(m2，0)(n2，0)得Error!Error!因为 AB1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，将代入上式得：yx21，所以点 P 的轨迹方程为 yx21.(2)证明：设直线 MN 的方程为
9、ykxb(b0)联立方程Error!Error!消去 y 得 x2kxb0，所以 mnk，mnb，点 P 到直线 MN 的距离 d，MN|k(mn2)mnb|1k2|mn|，所以 S1k2MNP dMN|mn| (mn)2|mn|2.1212|k(mn2)mnb|14即MNP 的面积为定值 2.2(2012天津六校联考)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一 个正方形的顶点过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点. (1)求椭圆的方程(2)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0)，使得|MP|MQ|？若 存在，求出 m
10、 的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)因为椭圆的短轴长 2b2，b1，又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以 bc，得 a2b2c22.故椭圆的方程为y21.x22(2)若 l 与 x 轴重合，显然 M 与原点重合，m0.若直线 l 的斜率 k0，则可设 l：yk(x1)，设P(x1，y1)，Q (x2，y2)，则Error!Error!消去 y 得 x22k2(x22x1)20，整理得(12k2)x24k2x2k220.x1x2PQ 的中点横坐标为，4k212k22k212k2代入 l：yk(x1)可得：PQ 的中点为N， 由|MP|MQ|得 MNPQ，则(2k212k2，k12k2)kMNk1，可得 m，所以k212k2m，综合得 m.k212k211k22(0，12)0，12)
