《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 1 函数的单调性 如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数 f(x)0，则在这个区间上，函数 yf(x)是增加 的；如果在某个区间内，函数 yf(x)的导数 f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大( ) (4)对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件( ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值( ) (6)函数 f(x)xsin x 有无数个极值点( ) 2 函数 f(x)x22
2、ln x 的单调减区间是( ) A(0,1) B(1，) C(，1) D(1,1) 答案 A 解析 f(x)2x (x0) 2 x 2x1x1 x 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数 3 (2013浙江)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则( ) A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值 答案 C 解析 当 k1 时，f(x)exx1，f(1)0. x1 不是 f(x)的极值点 当 k2
3、时，f(x)(x1)(xexex2) 显然 f(1)0，且 x 在 1 的左边附近 f(x)0， f(x)在 x1 处取到极小值故选 C. 4 函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为( ) A(1,1) B(1，) C(，1) D(，) 答案 B 解析 设 m(x)f(x)(2x4)， m(x)f(x)20， m(x)在 R 上是增函数 m(1)f(1)(24)0， m(x)0 的解集为x|x1， 即 f(x)2x4 的解集为(1，) 5 函数 f(x)x3ax2 在(1，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 3，) 解析 f
4、(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数， 则 f(x)3x2a0 在(1，)上恒成立， 即 a3x2在(1，)上恒成立a3. 题型一 利用导数研究函数的单调性 例 1 已知函数 f(x)exax1. (1)求 f(x)的单调增区间； (2)是否存在 a，使 f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在， 请说明理由 思维启迪 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论 解 f(x)exa， (1)若 a0，则 f(x)exa0， 即 f(x)在 R 上单调递增， 若 a0，exa0，exa，xln a. 因此当 a0 时，f(x)的单调增区间为 R，
5、 当 a0 时，f(x)的单调增区间是ln a，) (2)f(x)exa0 在(2,3)上恒成立 aex在 x(2,3)上恒成立 又21，则 f(x)的单调减 1 3 区间为_ 答案 (2,2a) 解析 f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)， 由 a1 知，当 x0， 故 f(x)在区间(，2)上是增函数； 当 22a 时，f(x)0， 故 f(x)在区间(2a，)上是增函数 综上，当 a1 时， f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数， 在区间(2,2a)上是减函数 (2)若 f(x) x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则 b 的取值范围是_ 1 2 答案 (，1 解析
6、 转化为 f(x)x0 在1，)上恒成立， b x2 即 bx(x2)在1，)上恒成立，令 g(x)x(x2)(x1)21， 所以 g(x)min1，则 b 的取值范围是(，1 题型二 利用导数求函数的极值 例 2 设 a0，函数 f(x) x2(a1)xa(1ln x) 1 2 (1)求曲线 yf(x)在(2，f(2)处与直线 yx1 垂直的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值 思维启迪 (1)通过 f(2)的值确定 a； (2)解 f(x)0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值 解 (1)由已知，得 x0，f(x)x(a1) ， a x yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为 1
7、， 所以 f(2)1，即 2(a1) 1， a 2 所以 a0，此时 f(2)220， 故所求的切线方程为 yx2. (2)f(x)x(a1) a x . x2a1xa x x1xa x 当 00， 函数 f(x)单调递增； 若 x(a,1)，f(x)0，函数 f(x)单调递增 此时 xa 是 f(x)的极大值点，x1 是 f(x)的极小值点， 函数 f(x)的极大值是 f(a) a2aln a， 1 2 极小值是 f(1) . 1 2 当 a1 时，f(x)0， x12 x 所以函数 f(x)在定义域(0，)内单调递增， 此时 f(x)没有极值点，故无极值 当 a1 时，若 x(0,1)，f
8、(x)0，函数 f(x)单调递增； 若 x(1，a)，f(x)0，函数 f(x)单调递增 此时 x1 是 f(x)的极大值点，xa 是 f(x)的极小值点， 函数 f(x)的极大值是 f(1) ， 1 2 极小值是 f(a) a2aln a. 1 2 综上，当 01 时，f(x)的极大值是 ，极小值是 a2aln a. 1 2 1 2 思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后 一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点 (2)若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在 某区间上单调函数没有极值 设 f(x)，
9、其中 a 为正实数 ex 1ax2 (1)当 a 时，求 f(x)的极值点； 4 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 解 对 f(x)求导得 f(x)ex. 1ax22ax 1ax22 (1)当 a 时，若 f(x)0，则 4x28x30， 4 3 解得 x1 ，x2 .结合，可知 3 2 1 2 x (， 1 2) 1 2 ( 1 2， 3 2) 3 2 ( 3 2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 x1 是极小值点，x2 是极大值点 3 2 1 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知 a
10、x22ax10 在 R 上恒成立，即 4a24a4a(a1)0， 由此并结合 a0，知 00)，g(x)x3bx. (1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a3，b9 时，若函数 f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范 围 思维启迪 (1)题目条件的转化：f(1)g(1)且 f(1)g(1)； (2)可以列表观察 h(x)在(，2上的变化情况，然后确定 k 的取值范围 解 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b. 因为曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以 f
11、(1)g(1)且 f(1)g(1)，即 a11b 且 2a3b， 解得 a3，b3. (2)记 h(x)f(x)g(x)，当 a3，b9 时， h(x)x33x29x1，所以 h(x)3x26x9. 令 h(x)0，得 x13，x21. h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示： x (，3 ) 3(3,1) 1(1,2)2 h(x) 0 0 h(x) 28 4 3 由表可知当 k3 时，函数 h(x)在区间k,2上的最大值为 28； 当30， 由 f(x)0 得 x ， 1 e 所以 f(x)在区间(0， )上单调递减，在区间( ，)上单调递增 1 e 1 e 所以，x 是函数 f(
12、x)的极小值点，极大值点不存在 1 e (2)g(x)xln xa(x1)， 则 g(x)ln x1a， 由 g(x)0，得 xea1， 所以，在区间(0，ea1)上，g(x)为递减函数， 在区间(ea1，)上，g(x)为递增函数 当 ea11，即 a1 时，在区间1，e上，g(x)为递增函数， 所以 g(x)的最小值为 g(1)0. 当 10.故选 C. 3 2 5 2 3 设 aR，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，则( ) Aa1 Ca Da0 时，ex0)， 1 2 9 x 当 x 0 时，有 00 且 a13，解得 12 或 a0，a2 或 aa，则实数 a 的取值范 x2
13、 2 围是_ 答案 (， ) 7 2 解析 f(x)3x2x2，令 f(x)0，得 3x2x20， 解得 x1 或 x ， 2 3 又 f(1) ，f( )，f(1)，f(2)7， 7 2 2 3 157 27 11 2 故 f(x)min ，ae2 014f(0) Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0) Cf(1)ef(0)，f(2 014)0 时， 因为二次函数 yax2(a1)xa 的图像开口向上， 而 f(0)a0，f(x)不符合条件 故 a 的取值范围为 0a1. (2)因 g(x)(2ax1a)ex， g(x)(2ax1a)ex， 当 a0 时，g(x)ex0， g(x)在 x0 处取得最小值 g(0)1， 在 x1 处取得最大值 g(1)e. 当 a1 时，对于任意 x0,1有 g(x)2xex0， g(x)在 x0 处取得最大值 g(0)2， 在 x1 处取得最小值 g(1)0. 当 00. 1a 2a 若1，即 00， e1 e1 g(x)在 x1 处取得最小值 g(1)(1a)e.
