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1、第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k.y2y1x2x1y1y2x1x23直线方程名称几何条件方 程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为kyy0k(xx0)不含垂直
2、于 x 轴的直线斜截式斜率为 k，纵截距为 bykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b(a，b0) 1xayb不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为 0)1利用两点式计算斜率时易忽视 x1x2时斜率 k 不存在的情况2用直线的点斜式求方程时，在斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，否则会造成失误3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式4由一般式 AxByC0 确定斜
3、率 k 时易忽视判断 B 是否为 0，当 B0 时，k 不存在；当 B0 时，k .AB试一试1若直线(2m2m3)x(m2m)y4m1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 是( )A1 B2C D2 或1212解析：选 D 当 2m2m30 时，即 m1 或 m 时，在 x 轴上截距为321，即 2m23m20，4m12m2m3故 m2 或 m .122过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为_解析：kMN1，m1.m42m答案：13过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则 k ，43所以 y x，即 4x3y0.43若
4、直线不过原点设 1，即 xya.xaya则 a3(4)1，所以直线的方程为 xy10.答案：4x3y0 或 xy101求斜率可用 ktan (90)，其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论” 2求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程练一练1直线 xsin y20 的倾
5、斜角的取值范围是( )A0，) B.0，4 34，)C. D.0，40，4 (2，)解析：选 B 设倾斜角为 ，则有 tan sin 其中 sin 1,1又 0，)，0 或.4342过点(5,10)且到原点的距离是 5 的直线的方程为_解析：当斜率不存在时，所求直线方程为 x50；当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y10k(x5)，即 kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，|105k|k21解得 k .34故所求直线方程为 3x4y250.综上知，所求直线方程为 x50 或 3x4y250.答案：x50 或 3x4y250考点一直线的倾斜角与斜率1(2013秦皇岛模拟)直
6、线 xy10 的倾斜角是( )3A. B.63C. D.2356解析：选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k，设倾斜角为 ，则 tan ，3333又 0，)，所以 .562(2014常州模拟)若 ab0，则过点 P与 Q的直线 PQ 的倾斜角的取值(0，1b)(1a，0)范围是_解析：kPQ 0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线 PQ 的倾斜角的取值1b001aab范围为.(2，)答案：(2，)类题通法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率 ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角 的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在.考点二直线方程
7、典例 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；1010(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为 ，则 sin (0)，1010从而 cos ，则 ktan .3 101013故所求直线方程为 y (x4)13即 x3y40 或 x3y40.(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 1，xay12a又因为直线过点(3,4)，所以1，解得 a4 或 a9.3a412a故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.类题通法1在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件2对于
8、点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用针对训练经过点 P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程是( )A8x5y200 或 2x5y120B8x5y200 或 2x5y100C8x5y100 或 2x5y100D8x5y200 或 2x5y100解析：选 D 由题意设所求方程为 y4k(x5)，即 kxy5k40.由 |5k4| 5|5 得，k 或 k .124k8525考点三直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、向量、不等式相结 5408，命题多为客观题.归纳起来常见的命题角度有：1与基本不等式相结合
9、求最值问题；2直线方程与平面向量的综合.1已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线 l 的方程；(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时，直线 l 的方程解：(1)设 A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线 l 的方程为 1，则 1，xayb1a1b所以|OA|OB|ab(ab) 2 224，(1a1b)abbaabba当且仅当 ab2 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy20.(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k0，直线 l 的方程为 y1k(x1)，则 A，B(0,1k),
10、 所以|MA|2|MB|221212(11k)22k2(11k，0)(111k)224，当且仅当 k2，即 k1 时，|MA|2|MB|2取得最小值 4，此时直线1k2k21k21k2l的方程为xy20.角度二 直线方程与平面向量的综合2已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点求当取得最小值时，直线 l 的方程MAu uu uu uu u r r MBu uu uu uu u r r解：设 A(a,0)，B(0，b)则 a0，b0，直线 l 的方程为 1，所以 1.xayb2a1b故(a2，1)(2，b1)2(a2)MAu uu u
11、u uu u r r MBu uu uu uu u r r MAu uu uu u r r MBu uu uu u r rb12ab5(2ab)54，当且仅当 ab3 时取等号，此时直线(2a1b)2ba2abl 的方程为 xy30.类题通法1含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定” 2求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.课堂练通考点1(2014云南检测)直线 x 的倾斜角等于 ( )3A0 B.3C. D2解析：选 C 直线 x ，知倾斜角为 .322直线 l：xsin 30ycos
12、 15010 的斜率是( )A. B.333C D333解析：选 A 设直线 l 的斜率为 k，则 k.sin 30cos 150333在等腰三角形 AOB 中，AOAB，点 O(0,0)，A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线 AB 的方程为( )Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)解析：选 D 因为 AOAB，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线 AB 的点斜式方程为：y33(x1)4若过点 P(1a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是_解析：ktan .2a1a3
13、1aa1a2 为钝角，0，即(a1)(a2)0，故2a1.a1a2答案：(2,1)5已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点 A(3,4)；(2)斜率为 .16解：(1)设直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是 3,3k4，4k由已知，得(3k4)6，(4k3)解得 k1 或 k2 .2383故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，则直线 l 的方程是 y xb，它在 x 轴上的截距是166b，已知，得|6bb|6，b1.直线 l 的方程为
14、x6y60 或 x6y60.课下提升考能第组：全员必做题1若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为( )A. B1313C D.3223解析：选 B 设 P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得 xP72，解得 xP5，即P(5,1)，所以 k .132直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足( )Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：选 A 由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为 y x .易知 0 且 0，故 ab0，bc0.abcbabcb3若实数 a，b 满足 a2b3，则直线 2axby12
