《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数 1 角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所形成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 (2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S|k360， kZ (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角 的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上， 那么这个角不属于任何一个象限 2 弧度制 (1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角 (2)角度
2、制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1 rad. 180 ( 180 ) (3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：S lr |r2. 1 2 1 2 3 任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个 y x 三角函数的初步性质如下表： 三角函数定义域 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象限 符号 第四象 限符号 sin R cos R tan |k ，kZ 2 4 三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作 单位圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相
3、交于点 T. 三角函数 线 () () () () 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线； 有向线段 AT 为正切线 1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)小于 90的角是锐角( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等( ) (4)点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 终边在第二象限( ) (5)(0， )，则 tan sin .( ) 2 (6) 为第一象限角，则 sin cos 1.( ) 2 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 9 4 A2k45 (kZ) Bk360 (kZ) 9 4 Ck3
4、60315(kZ) Dk (kZ) 5 4 答案 C 解析 与的终边相同的角可以写成 2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用， 9 4 9 4 所以只有答案 C 正确 3 已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A1 B4 C1 或 4 D2 或 4 答案 C 解析 设此扇形的半径为 r，弧长为 l， 则Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error! 从而 4 或 1. l r 4 1 l r 2 2 4 已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且 sin ，则 y_. 2 5
5、 5 答案 8 解析 因为 sin ， y 42y2 2 5 5 所以 y0，即 m . 4m2 64m29 1 25 1 2 (2) 是第二象限角，10，0)，所在圆的半径为 R. (1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C (C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维启迪 (1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于 的函数 解 (1)设弧长为 l，弓形面积为 S弓，则 60 ，R10，l 10 (cm)， 3 3 10 3 S弓S扇S 10 102sin 1 2 10 3 1 2 3 50 (cm2) 50
6、 3 50 3 2 ( 3 3 2) (2)扇形周长 C2Rl2RR，R， C 2 S扇 R2 2 1 2 1 2 ( C 2) . C2 2 1 442 C2 2 1 44 C2 16 当且仅当 24，即 2 时，扇形面积有最大值. C2 16 思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其 中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇 形面积公式：l|R，S |R2. 1 2 已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为_和圆心角为_弧度时， 扇形面积最大，这个最大面积是_ 答案 1 cm 2 1 cm2 解析 设扇形圆心角为 ，半径
7、为 r，则 2r|r4，| 2. 4 r S扇形 |r22rr2(r1)21， 1 2 当 r1 时(S扇形)max1，此时|2. 数形结合思想在三角函数中的应用 典例：(12 分)(1)求函数 ylg(34sin2x)的定义域； (2)设 是第二象限角，试比较 sin ，cos ，tan 的大小 2 2 2 思维启迪 (1)求定义域，就是求使 34sin2x0 的 x 的范围用三角函数线求解 (2)比较大小，可以从以下几个角度观察： 是第二象限角， 是第几象限角？首先应予以确定sin ，cos ，tan 不能求出 2 2 2 2 确定值，但可以画出三角函数线借助三角函数线比较大小 规范解答
8、解 (1)34sin2x0， sin2x0，则可排除 A、C、D，故选 B. 5 给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； 若 sin sin ，则 与 的终边相同； 若 cos 0，cos 0，tan 0. (1)求 角的集合； (2)求 终边所在的象限； 2 (3)试判断 tan sin cos 的符号 2 2 2 解 (1)由 sin 0，知 在第一、三象限， 故 角在第三象限，其集合为 |(2k1)0，cos 0， 2 2 2 2 所以 tan sin cos 也取正号 2 2 2 因此，tan sin cos 取正号 2 2 2
