《12-13学年高二数学：1.2.4等差数列的综合应用2 学案（北师大版必修5）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12-13学年高二数学：1.2.4等差数列的综合应用2 学案（北师大版必修5）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 4 4 课时课时 等差数列的综合应用等差数列的综合应用思路方法技巧思路方法技巧 命题方向 已知Sn求an例 1 已知数列an的前n项和Sn=-n2+n,求数列an的通项公式an.23 2205S1(n=1) 分析 利用an与Sn的关系an= ，求解.Sn-Sn-1 (n2) 解析 当n2 时，an=Sn-Sn-1=（-n2+n）- (n-1) 2+ (n-1)23 2205 23 2205=-3n+104.当n=1 时，a1=S1=-+=101 满足上式，23 2205an=-3n+104(nN N+). 说明 由Sn求通项公式an时，要分n=1 和n2 两种情况，然后验证两种情况可否用
2、统 一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 变式应用 1 Sn是数列an的前n项和，根据条件求an. （1）Sn=2n2+3n2； （2）Sn=3n-1. 解析 （1）当n=1 时，a1=S1=7, 当n2 时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n2)-2(n-1) 2+3(n-1)2=4n+1，又a1=7 不适合上式，7 （n=1）an= . 4n+1 (n2) (2)当n=1 时，a1=S1=2, 当n2 时，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1） =23n-1，显然a1适合上式，an=23n-1 (nN N+). 命题方向 求数列|an|的前n项和 例 2 已知数列
3、an的前n项和Sn=12n-n2,求数列|an|的前n项和Tn. 分析 由Sn12n-n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数且nN N+，可知an是等差数 列，可求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn. 解析 当n=1 时，a1=S1=12-12=11. 当n2 时，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-12(n-1)-(n-1) 2=13-2n. 又n=1 时适合上式， an的通项公式为an=13-2n.由an=13-2n0 得n，213即当 1n6(nN N+)时，an0,当n7 时，an0 或an0 或an2 时，|an|=-an,Sn=|a1|+|a2|+|an|=
4、a1+a2-a3-a4-an=-(a1+a2+an)+2(a1+a2)=-Sn+2S2=5n2-20n+40.-5n2+20n （n2）Sn= . 5n2-20n+40 （n2） 命题方向 等差数列前n项和性质 例 3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求这个数列的中间 项及项数. 分析 设项数为 2n1，则奇数项有n项，偶数项为n-1 项，由奇数项之和与偶数项之 和的关系，列式求解. 解析 设等差数列共 2n-1 项，则奇数项有n项，偶数项有n-1 项，中间项是第n项， 记为an,设公差为d,S奇a1+a3+a5+a2n-1=44 则 S偶a2+a4+a6+a2n
5、-2=33 S奇S偶nan-(n-1)an=an=11 即中间项an=11. 又S2n-1=S奇S偶77.=772)(12(121naan 22) 12(nan(2n-1)1177，2n-1=7. 即数列的中间项为 11，这个数列共 7 项. 说明 等差数列an中，公差为d: 若共有 2n项，则S2n=n(an+an+1); S偶S奇nd;S偶：S奇an+1：an.若共有 2n-1 项，则S2n-1=(2n-1)an; S奇S偶an;S偶：S奇（n-1）：n. 变式应用 3 在等差数列an中，前 12 项和为 354，前 12 项中奇数项的和与偶数项的和之 比为 27：32,求公差d.解析 解
6、法一：设这个数列的首项为a1,公差为d,则 12a1+d=354.21112=d=5. dadda225662256)(6112732S奇S偶354， S偶192， 解法二： S奇162.偶奇 SS 3227又S偶S奇6d,d=5. 探索延拓创新探索延拓创新 命题方向 等差数列的实际应用 例 4 从 5 月 1 日开始，有一新款服装投入某商场销售，5 月 1 日该款服装销售出 10 件， 第二天销售出 25 件，第三天销售出 40 件，以后，每天售出的件数分别递增 15 件，直到 5 月 13 日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减 10 件. （1）记该款服装五月份日销售量与销售天数
7、n的关系为an，求an； （2）求五月份的总销售量； （3）按规律，当该商场销售此服装超过 1300 件时，社会上就流行，而日销售量连续下降， 且日销售量低于 100 件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过 10 天？说明 理由. 分析 由题意可知：从 5 月 1 日到 5 月 13 日，服装日销售量成递增的等差数列；从 5 月 14 日到 5 月 31 日，服装日销售量成递减的等差数列.解答本题可先确定an与n的关系， 然后用等差数列的前n项和公式解决问题. 解析 （1）依题意，数列a1,a2,a13是首项为 10，公差为 15 的等差数列. an=15n-5(1n13)， a1
8、4,a15,a16,a31是首项为a14=a13-10=180,公差为-10 的等差数列. an=180+(n-14)(-10)=-10n+320(14n31)，15n-5(1n13，nN N+)an= . -10n+320(14n31，nN N+)(2)五月份的总销售量为+17180+3000（件）.2)19010(13 2)10(1617(3)5 月 1 日至 5 月 13 日销售总数为=120022, 第 22 天流行结束，故该服装在社会流行没有超过 10 天. 说明 数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系（即等差数列模型） ， 然后确定公差、首项、项数是什么，分清an与S
9、n,然后选用适当的方法求解，最后回归实际.变式应用 4 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1 150 万元，购买当天先 付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付欠款利息，月利率为 1%，若交付 150 万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部 付清后，买这 40 套住房实际花了多少钱？ 解析 因购房时付 150 万元，则欠款 1 000 万元，依题意分 20 次付款，则每次付款的 数额顺次构成数列an. 则a1=50+1 0001%=60,a2=50+(1 000-50)1%=59.5, a3=50+(1 000
10、-502)1%=59, a4=50+(1 000-503)1%=58.5, an=50+1 000-50(n-1)1%=60- (n-1) (1n20,nN N).21an是以 60 为首项，-为公差的等差数列，21a10=60-9 =55.5，21a20=60-19 =50.5.21S20=（a1+a20）2021=10（60+50.5）=1 105. 实际共付 1 105+150=1 255 万元. 名师辨误做答名师辨误做答 例 5 已知数列an的前n项和Sn满足关系式 lg(Sn+1) =n+1(n=1,2,),试求数列an 的通项公式. 误解 由 lg(Sn+1)=n+1 得Sn=10n+1-1.an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n. 数列an的通项公式为an=910n.S1,n=1 辨析 上面解法在运用公式an= 时漏掉了n=1时的情况，实际上当n=1时，Sn-Sn-1,n2 a1=S1=102-1=99,不适合通项公式an=910n,故应分情况讨论. 正解 由 lg(Sn+1)=n+1 得Sn=10n+1-1, 当n2 时，an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n, 当n=1 时，a1=S1=102-1 =99 不满足上式，99(n=1) an= . 910n(n2)
