《12-13学年高二数学：1.1.1数列的概念2 学案（北师大版必修5）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12-13学年高二数学：1.1.1数列的概念2 学案（北师大版必修5）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 数 列第 1 课时 数列的概念思路方法技巧思路方法技巧 命题方向 数列的概念 例 1 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1)0,1,2,3,4;(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4;(4)1,-1,1,-1,1,-1; (5)6,6,6,6,6. 分析 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定 义来解决. 解析 （1）是集合，不是数列；（2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）是数列. 其中（3） 、 （4）是无穷数列， （2） 、 （5）是有穷数列. 变式应用 1 下列说法正确的是( ) A.数列 2,3,4 与
2、数列 4,3,2 是同一数列 B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,是同一数列C. 1,4,2, ，不是数列315D.数列2n-3与-1,1,3,5,不一定是同一数列 答案 D 解析由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个 数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故 A、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列2n- 3是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，前 4 项符合an=2n-3,但后面的项不一 定符合此规律，故不一定是同一数列. 命题方向 数列的通项公式 例 2 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,;(2
3、) ，；32 154 356 638(3) ,2, ，8，;21 29 225(4) ，.1122 3232 5342 7452分析 通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式. 解析 (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n，故 原数列的一个通项公式为an=2n+1. (2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列2n，分母各项分解因式： 13,35，57，79,为相邻奇数的乘积，即(2n-1)(2n+1)，故原数列的一个通项公式为an=.) 12)(12(2 nnn(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数
4、，再观察，在数列,，中，分母为 2，分子为n2，故an=.21 24 29 216 225 22n(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从 1 开始的奇数列，其通项公式为 2n-1；分子的前 一部分是从 2 开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an=.12) 1(2 nnn 1212 nnn说明 在根据数列的前n项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题 的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化 的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的
5、关系，从而归纳出项与 项数关系的规律，写出通项公式. 变式应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31，;（2）1，；21 31 41（3）0.9，0.99，0.999， 0.，. 9 999个项有第nn解析 （1）注意观察各项发现各项分别加上 1，变为 2,4,8,16,32,其通项公式为 2n,故 原数列通项公式为an=2n-1,nN N+;（2）调整为，它的前几项都是自然数的倒数，an=；11 21 31 41 n1（3）0.9=10.1，0.99=10.01，0.999=10.001，第n项an=0.=10.1=1. 9n 999个 0n
6、 000个n101命题方向 数列通项公式的简单应用例 3 在数列an中通项公式是an（-1）n-1,写出该数列的前 5 项，) 1)(12(2nnn并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.17081分析 由通项公式写出数列的前 5 项，令an=,判断是否有正整数解即可.17081解析 a1=(-1) 0，a2=(-1) 1，a3=(-1) 2.2112 21 3322 94 4532 209a4=(-1) 3，a5=(-1) 4.5742 3516 6952 5425该数列前 5 项分别为：，-,.21 94 209 3516 5425令(-1) n-1=得) 1)(
7、12(2nnn 17081n1 且为奇数8n2-81n+81=0.n=9.所以是该数列中的第 9 项.17081说明 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式） 是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项， 否则不是. 变式应用 3 以下四个数中，哪个是数列n（n1）中的项（ ）A. 380 B. 39 C. 32 D.23 分析 数列an的通项公式f(n)=n(n+1)，对于某个数m，若m是数列an中的项，则 n（n+1）=m必有正整数解.若无正整数解，则m肯定不是an中的项. 答案 A 解析 依次令n(n+1)=23 或 3
8、2 或 39 检验知无整数解.只有n（n+1）=380 有整数解n=19. 探索延拓创新探索延拓创新 命题方向 数列的递推公式 例 4 在数列an中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5. 分析 由a1=2，a2=1 及递推公式an+2=3an+1-an,依次找出a3,a4,a5,a6即可. 解析 解法一：a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,a3=3a2-a1=31-2=1, a4=3a3-a2=31-1=2, a5=3a4-a3=32-1=5, a6=3a5-a4=35-2=13, a6+a4-3a5=13+2-35=0. 解法二：an+2=3a
9、n+1-an, 令n=4,则有a6=3a5-a4,a6+a4-3a5=0. 说明 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项 一项递推，故在运算过程中要特别细心. 变式应用 4 已知数列an的首项a1=1,an=2an-1+1(n2)，那么a5= . 答案 31 解析 由递推关系式an=2an-1+1 和a1=1 可得a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7, a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31. 名师辨误做答名师辨误做答 例 5 已知数列an的前 4 项为 1,0,1,0，则下列各式可以作为数列an的通项公式的有 （ ） an=1+(-1) n+1;an=sin2，(nN N+);an=1+(-1) n+1+(n-1)(n-2);an=21 2n 21;2cos1n1 (n为偶数)an=0 (n为奇数) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个误解 D 辨析 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误. 正解 B 将n=1,2,3,4 分别代入验证可知均正确.均可以作为数列的通项公式， 而不是数列的通项公式，答案选 B.
