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1、第 3 讲 函数的表示方法知识梳理知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数） ，则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，
2、则可用换元法或配凑法；问题 1已知二次函数)(xf满足564) 12(2xxxf，求)(xf方法一：换元法令)(12Rttx，则21tx，从而)(955216)21(4)(22Rttttttf所以)(95)(2Rxxxxf方法二：配凑法因为9) 12(5) 12(410) 12(564) 12(222xxxxxxxf所以)(95)(2Rxxxxf方法三：待定系数法因为)(xf是二次函数，故可设cbxaxxf2)(，从而由564) 12(2xxxf可求出951cba、，所以)(95)(2Rxxxxf（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf问题 2：已知函数)(xf满足x
3、xfxf3)1(2)(，求)(xf因为xxfxf3)1(2)(以x1代x得xxfxf13)(2)1(由联立消去)1(xf得)0(2)(xxxxf热点考点题型探析热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 （09 年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、 乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确
4、认即可。解析由图甲知，每个进水口进水速度为每小时 1 个单位，两个进水口 1 个小时共进水 2 个单位，3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式” 。 新题导练1(05 辽宁改)一给定函数)(xfy 的图象在下列图
5、中，并且对任意) 1 , 0(1a，由关系式0)(1nnafa得到的数列na满足)(0* 1Nnaann，则该函数的图象是（ ）A B C D 时间01 1时间02 1时间034665解析 A.；令1nnaxay ，则( )yf x等价于)(1nnafa，( )yf x是由点1(,)nna a组成，而又知道1nnaa，所以每各点都在 y=x 的上方。2(2005湖北)函数|1|lnxeyx的图象大致是( )解析 D；当1x时，1) 1(xxy，可以排除 A 和 C；又当21x时，23y，可以排除 B考点 2：用列表法表示函数例 2 （07 年北京）已知函数( )f x，( )g x分别由下表给
6、出则 (1)f g的值为；满足 ( ) ( )f g xg f x的x的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知 (1)f g=(3)1f；当1x时， (1)1, (1)(1)3f gg fg，不满足条件当2x时， (2)(2)3, (2)(3)1f gfg fg，满足条件，当3x时， (3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不满足条件，满足 ( ) ( )f g xg f x的x的值是2x【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 新题导练x123( )f x131x123(
7、)g x3213 （09 年山东梁山）设 f、g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射 f 的对应法则是表 1原象1234象3421映射 g 的对应法则是表 2则与)1 (gf相同的是（ ）A)1 ( fg；B)2( fg；C)3( fg；D)4( fg解析 A；根据表中的对应关系得，1)4()1 ( fgf，1)3()1 ( gfg4 （10 年江苏改编）二次函数cbxaxy2（xR R）的部分对应值如下表：x32101234y60466406则不等式02cbxax的解集是 解析 )3 , 2(；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02cbxax的两根为2 和3，
8、又根据)2()0( ff且)3()0(ff可知0a，所以不等式02cbxax的解集是)3 , 2(考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 3 （10 湖北改编）已知)11(xxf=2211 xx ，则)(xf的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法解析 令txx 11，则11 ttx， 12)(2tttf.12)(2xxxf.故应填212 xx 【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法（ 注意新元的取值范围） ； 待定 系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ；整体代换（配凑法） ；构造方程组（如自
9、变量互为倒数、已知)(xf为奇函数且)(xg为偶函数等） 。题型 2：求二次函数的解析式原象1234象4312例 4 （普宁市城东中学 09 届高三第二次月考）二次函数)(xf满足xxfxf2)() 1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间 1 , 1上，)(xfy 的图象恒在mxy 2的图象上方，试确定实数m的范围。解题思路（1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(2xfmx对于 1 , 1x恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设2( )(0)f xaxbxc a，则22(1)( ) (1)(1)() 2f xf xa xb xc
10、axbxc axab 与已知条件比较得：22, 0a ab 解之得，1, 1a b 又(0)1fc，2( )1f xxx由题意得：212xxxm 即231mxx对1,1x 恒成立，易得2 min(31)1mxx 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值 来获得参数的取值范围是一种常用方法。 新题导练5 （11 全国卷改编）若xxf2cos3)(sin，则 )2sin(xf解析 x2cos3； )2sin(xf22(sin )3cos23(1 2sin)2sin2fxxxx所以2( )22f xx,因此22(cos )2cos2(2cos1)33cos2f
11、xxxx6 （09 年潮州金山中学）设( )yf x是一次函数，若 01f且 1 ,4 ,13fff成等比数列，则 242fffn ；解析)32(nn；设bkxxf)(，由1)0(f得1b，从而1)( kxxf又由 1 ,4 ,13fff成等比数列得2) 14() 113)(1(kkk，解得2k所以12)(xxf， 242fffn)32( 12 142 122nnn7 （华侨中学 09 届第 3 次月考（09 年中山） ）设 1 1xf xx，又记 11,1,2,kkfxf xfxffxk则 2008fx （ ）A11x x ；B1 1x x ；Cx；D1 x；解析 C；由已知条件得到x xx
12、xxxfxfxffxf1111111)(1)(1)()(11 12 ，11 1111)(1)(1)()(11 23 xxxx xfxfxffxf，xxxxxxfxfxffxf 111111)(1)(1)()(33 34，xxxffxf11)()(45可见，)(xfn是以 4 为周期的函数，而45022008，所以，xxfxf)()(420088设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且其图象在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为2，求)(xf的解析式。解析 178 72)(2xxxf；设 f(x)=ax2+bx+c，由 f(x)满足 f(x2)=f(x2)，可得函数 y=f(
13、x)的对称轴为 x=2，所以22b a 由 y=f(x)图象在 y 轴上的截距为 1，可得(0)1f，即 c=1由 y=f(x) 图象在 x 轴上截得的线段长为2，可得22 121212|()4()42bcxxxxx xaa所以联立方程组2()42122bc aa c b a ，可解得2 7 8 7 1abc 所以 f(x)=178 722xx.考点 4：分段函数题型 1：根据分段函数的图象写解析式 例 5 (10 年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药 量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为a y 1161（a 为常数） ，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为 ； （）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么 从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。 思路点拨根据题意，药物释放过程的含药量 y（毫克）与时间 t 是一次函数，药物释放完毕 后，y 与 t 的函数关系是已知的，由特
