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1、第 2 讲 函数与映射的概念知识梳理知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(2)函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy 的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy 的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这
2、样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf:重、难点突破重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题 1：已知函数)(xfy 的定义域为ba，求)2( xfy的定义域误解因为函数)(xfy 的定义域为ba，所以bxa，从而222bxa故)2( xfy的定义域是2, 2ba正解因为)(xfy 的定义域为ba，所以在函数)2( xfy中，bxa2，从而22bxa，故)2( xfy的定义域是2, 2ba即本题的实质是求bxa2中x
3、的范围问题 2：已知)2( xfy的定义域是ba，求函数)(xfy 的定义域误解因为函数)2( xfy的定义域是ba，所以得到bxa2，从而22bxa，所以函数)(xfy 的定义域是2, 2ba正解因为函数)2( xfy的定义域是ba，则bxa，从而222bxa所以函数)(xfy 的定义域是2, 2ba即本题的实质是由bxa求2x的范围即)(xf与)2( xf中x含义不同1 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为） “二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos2sin2xxy，可变为2) 1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以
4、利用基本函数的值域来求，如函数 ) 32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22122xxxy得012) 1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是函数值域中的一个值；若0y，则由0) 12(4)1(22yyy得02133 2133yy且，故所求值域是2133,2133（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1cos3cos2 xxy的值域，因为1cos521cos3cos2 xxxy，而2 , 0(1cosx，所以25,(1cos5x，故21,(y（
5、5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域当0x时，0y；当0x时，xxy43，若0x，则4424xxxx若0x，则4)4()(2)4(4xxxxxx，从而得所求值域是43,43（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数)2 , 1(2224xxxy的值域因) 14(22823xxxxy，故函数)2 , 1(2224xxxy在)21, 1(上递减、在)0 ,21(上递增、在)21, 0(上递减、在)2 ,21(上递增，从而可得所求值域为30,815（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某 些分段函数的值域常用此法） 。热点考点题型探析热点考点题型
6、探析考点一：判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(， ; 01, 01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数xxxf)(的定义域为), 0()0 ,(，而 ; 01, 01)(xxxg的定义域为 R，所以
7、它们不是同一函数. （3）由于当 nN*时，2n1 为奇数，xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0xx，而xxxg2)(的定义域为10xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 答案（1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应 关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函 数。第
8、（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2 xxf，1)(2 ttf，1) 1() 1(2uuf都可视为同一函数.新题导练 1(2011佛山) 下列函数中与函数xy 相同的是( )A .y = (x)2 ; B. y = 33t; C. y =2x; D. y= xx2解析 B；因为 y = 33tt，所以应选择 B2(09 年重庆南开中学)与函数)12lg(1 . 0xy的图象相同的函数是 （ ）A.)21(12xxy；B.121 xy；C.)21(121xxy； D.|121|
9、xy解析 C；根据对数恒等式得121101 . 0121lg)12lg( xyxx，且函数)12lg(1 . 0xy的定义域为),21(，故应选择 C考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域例 2.（08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为( )A.), 2)4,(;B.) 1 , 0()0 , 4(；C. 1 , 0()0 , 4,;D. ) 1 , 0()0 , 4,解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数)(xf有意义，必须并且只需0043230430232222xxxxxxxxx) 1 ,
10、 0()0 , 4 x，故应选择D【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围， 实际操作时要注意：分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为 非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由 几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际 问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义 域不要漏写。 题型 2：求抽象函数的定义域例 3（2006湖北）设 xxxf22lg，则 xfxf2 2的定义域为（ ）A. 4 , 00 , 4；B. 4 ,
11、11, 4；C. 2 , 11, 2；D. 4 , 22, 4解题思路要求复合函数 xfxf2 2的定义域，应先求)(xf的定义域。解析由202x x得，( )f x的定义域为22x ，故22,2 222.xx 解得 4, 11,4x 。故 xfxf2 2的定义域为 4 , 11, 4.选 B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数( )f x的定义为 , a b，则函数 ( )f g x的定义域是满足不等式( )ag xb的 x 的取值范围；一般地，若函数 ( )f g x的定义域是 , a b，指的是 , xa b，要求( )f x的定义域就是 , xa b时( )g x的值域。题型 3
12、；求函数的值域例 4已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域 解题思路应先由已知条件确定a取值范围，然后再将)(af中的绝对值化去之后求值域解析依题意，0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4) 1()(max faf，419)23()(min faf，所以)(af的值域是4 ,419【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。 新题导练 3.（2011 安徽文、理）函数221( )log (1)xf xx的定义域为 解析 3,)；由；由 11, 01012xxx解得
13、3x4定义在R上的函数( )yf x的值域为 , a b，则函数(1)yf x的值域为( )A1,1ab；B , a b；C1,1ab；D无法确定 解析 B；函数(1)yf x的图象可以视为函数( )yf x的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5(2008 江西改) 若函数( )yf x的定义域是3 , 1 ，则函数(2 )( )1fxg xx的定义域是解析 23, 1 () 1 ,21；因为( )f x的定义域为3 , 1 ，所以对( )g x，321x但1x 故23, 1 () 1 ,21xrqiR6(2011 江西理改)若函数( )yf x的值域是3 ,32，则函数 1
14、 ( )F xf xf x的值域是 解析 310, 2；)(xF可以视为以)(xf为变量的函数，令)(xft ，则)332(1tttF2222) 1)(1(111ttt tt tF，所以，ttF1在 1 ,32上是减函数，在3 , 1 上是增函数，故)(xF的最大值是310，最小值是 2考点三：映射的概念 例 5 （10 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文, , ,a b c d对应密文2 ,2,23 ,4 .abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）A7,6,1,4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D1,6,4
