电磁场的基本理论

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1、1,第2章 电磁场的基本理论,主要内容 描述电场，磁场的基本物理量 静电场的特征及基本方程 恒定电场的特征及基本方程 恒定磁场的特征及基本方程 时变电磁场及麦克斯韦方程组,本章要解决的问题：求场分布,2,静态场： 静电场、恒定电场和恒定磁场是静态场，它们只是空间位 置的函数，不随时间变化，这时电场和磁场虽然可以共处一 个空间，但它们却是相互无关、各自独立存在的；,各种场之间的关系,时变电磁场： 时变电磁场既是空间的函数，也是时间的函数，这时变化的 电场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，电场与磁场 不再独立，它们同时存在，形成统一的电磁场。,3,电荷（源量） 库仑实验定律 电场(场量）电流（

2、源量）安培力实验定律 磁场(场量）,2.1 基本物理量及定理,4,一、电荷与电荷密度,1、体电荷密度,体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。,体电荷密度 的定义：,在电荷空间V内，任取体积元 ，其中电荷量为,则,2.1 基本物理量及定理,电荷 电量 基本电荷,5,2、面电荷密度,面电荷：电荷只存在于一个薄层上,面电荷密度 的定义：,在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为,则,面上电荷：,6,3、线电荷密度,线电荷：电荷只分布在一条细线上,线电荷密度 的定义：,在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为,则,线上电荷值：,7,4、点电荷,点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时， 称为点电荷

3、。点电荷可看作是电量q无限集中于一个 几何点上。,8,二 电流及电流密度定义：电荷的宏观定向运动称为电流。,单位时间内穿过某一截面的电荷，称为电流强度，以 i 表示。电流的单位为A（安培）。,电流 i 与电荷 q 的关系为,9,1.体电流分布：电荷在某一体积内定向运动所形成的电流,方向：为正电荷运动的方向 。 大小： 通过 垂直的单位面积上的电流强度,10,2.面电流分布,电流在厚度可以忽略的薄层内流动所形成 的电流称为面电流。 方向：为正电荷运动的方向 。 大小： 通过与 垂直的单位面积上的电流强度,面电流密度,3.线电流分布,电荷在一个横截面可以忽略的细线中流动所形成的电流称为线电流。 若

4、长度元 中流过的线电流为 ，则称 为电流元。,电流元是一个矢量，是构成磁场的重要单元。,11,三、库仑定律及电场强度,1、库仑定律,电场,静电场: 静止电荷周围存在的电场,1、历史上的两种典型观点,（a）超距作用：电荷之间的作用力可超越距离、瞬时传递。 （b）近距作用：电荷之间的作用力必须通过中间介质的传递。,2、电场：电荷周围存在的一种特殊物质，是电荷与电荷之间作用的媒介。,12,用 来分别描述静电场的上述两项性质,静电场的基本特征:,(1) 对处在电场中的电荷施加力的作用；,(2) 电荷在电场中移动，电场力对做功,力的特征；,能的特征。,13,14,2、电场强度矢量,电场强度 的定义式：,

5、q为试验电荷电量， 为试验电荷所受电场力。,15,真空中点电荷q在P点处产生的电场强度：,特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，,16,3、电场矢量的叠加,（1）多点电荷系统产生的电场,式中:,由矢量叠加原理：,例：真空中有三个点电荷电量分别为 ， 它们分别位于一个边长为1米的等边三角形的三个顶点上，如图 所示，求 所受的力。,解：由图可知， 所在点的矢径分别为：,由叠加原理可得,18,2、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式,处理思路：1) 无限细分区域2）考查每个区域3）矢量叠加原理,电荷源随不同的电荷分布表达式,线电荷,面电荷,体电荷,19,b)面分布电荷系统,c)线分布电荷系统,设体电荷密

6、度为 ，图中dV在P点产生的电场为：,则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：,a)体分布电荷系统,20,常用电场强度：,1）密度为 的无限长线电荷在空间中产生电场强度,2）密度为 的无限大均匀带电面外任意一点电场强度为：,21,计算电场强度的场源关系式,应用场源关系式进行电场强度的计算应注意： 积分在场源存在的区域进行，即对带撇的坐标进行积分，在积分中场点坐标（即不带撇的坐标）可作为常数处理； 被积函数是矢量函数，它的积分通常应按矢量的分量分别积分，而后合成。,22,例2.1 无界真空中，有限长直线 l 上均匀分布着线密度为 的电荷，求线外任意点的电场强度。 解: (1)选坐标系：圆柱坐标系

7、 (2)选电荷源 (3)确定dE的方向 (4)确定dE的大小将dE投影到坐标轴上，只考虑大小， 不考虑方向, 在点P产生的电场为：,积分在场源存在的区域进行，即对带撇的坐标进行积分，在积分中场点坐标（即不带撇的坐标）可作为常数处理,解:分析电场的分布，可知线电荷产生的电场具有轴对称性。z轴与线电荷重合，采用圆柱坐标，轴线外任一点的电场强度与角度坐标 无关，可过z轴取半平面为计算区域，线电荷中点为坐标原点，作计算图。在z轴上z处取线元长度dl=dz,23,(5) 统一积分变量: 都是变量，做积分只能选一个,如何确定的范围,如果=0，z=- 如果=，z=,24,例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，

8、内半径为a，外半径为b，电荷面密度 为常数，求环形薄圆盘轴线上任一点的电场强度。,解： 选圆柱坐标系，场点P(0,0,z),点电荷：,25,非常量,在均匀带电的环形薄圆盘轴线上，其他方向分量可相互抵消，只有Z方向的电场分量。,26,四、安培力定律磁感应强度,1、安培力定理 实验结果表明，在真空中两个 通有恒定电流的回路之间有相互作用力。 1820年1825年间，安培从实验中总结 出这个作用力的规律，称为安培力定律。设有两个电流回 路C1和C2，分别通有电流I1和I2，则回路C1对回路的作用 力为,其中，u0为真空中的磁导率,27,有意思的式子,28,理论上可以认为是电流元 对电流元 的安培作用

9、力,B为回路C1中的电流在 所在点产生的磁场，称为磁感应强度或磁通密度,2、磁场的基本量-磁感应强度,磁感应强度的单位为T（特斯拉）或Wb/m2（韦伯/米2）。,29,对于体电流，有,对于面电流，有,对于线电流，有,30,例2.3 计算长度为 的直线电流 的磁场,建坐标系:场点的坐标,线电流元:,整理算式,选择计算公式,31,如何确定 的范围,32,2.2 静电场,以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场的特性和求解方法。,静电场的基本方程(真空中和介质中） 静电场的辅助函数电位方程 静电场的边界条件（重点） 静电场的能量方程,主要内容：,静电场：恒定不变的电场。即：,33,积分形式,微分形

10、式,2.2.1 静电场的基本方程,高斯定理,1.静电场的基本方程,静电场：有源无旋,环路定理,34,2 立体角,在一个半径为R的球面上，任取一个面元 ,则此面元可构成一个一球心为顶点的椎体。定义 对球心所张的立体角为 用 表示 。 单位：sr（球面度）,整个球面对球心的立体角：,非球面元 对某点P的立体角：,35,（1）点P在闭合面内：,（2）点P在闭合面外：,36,3 证明高斯定理,对一点电荷，有,q在闭合面内：,q在闭合面外：,闭合面S（高斯面）内的总电量：,闭合面S（高斯面）所包围的体积内，电荷体密度为,37,4 证明静电场的环路定理,当闭合路径A与B重合时，积分为0,试验电荷在任何静电

11、场中移动，静电力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关,38,静电场的旋度方程,积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0；电场中的点电荷沿任何轨迹移动后又回到原处，则电场力不做功。 C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； 微分形式: 静电场的旋度为0 静电场为保守场，无旋场,积分形式,微分形式,39,5 利用高斯定理求解静电场（ 重点 ）,关键：高斯面的选择,用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。并且高斯面一旦选定，面上的参数即当常数看待,1）场点位于高斯面上； 2）高斯面为闭合面； 3）在整个或分段高斯面上，或

12、为恒定值。,对称性分布，确定E的分布特征 做高斯面，计算 利用高斯定理求解,解题步骤,40,例2.4：求无限长线电荷 在周围产生的电场强度,分析：电场只有r方向，高斯面设置为圆柱坐标最好。 分别分析高斯面上面，下面和侧面,上式等号左边为,高斯面S内的总电荷为,上式等号右边为,41,例2.5 利用高斯定理求电场强度。已知电荷分布于一个半径为a的球形区域内，电荷体密度为 。,思路：电场具有明显球对称性，用高斯定理求解电场，高斯面S为半径为r的同心球面，由于球内外电荷分布不一样，分别计算,(1) 时,解:,例: 求均匀带电球壳内外的场强，设球壳带电量为 半径R,取高斯面为通过空间任意一点P 和球壳同

13、心的球面，由高斯面定理可得,（2） 时,作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。,圆柱形高斯面内电荷,由高斯定理得,例题:均匀带电无限大平面的电场.,44,2.2.2 电位函数及电位方程,1、电位函数,说明：,1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；,2) “”表示电场指向电位减小最快的方向；,引入电位函数 ：,45,设P点位参考点，其电位为0,电位差（电压U）,电场空间中不同位置处电位的变化量。,意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所作的功。,2、电位差（电压U）,46,3、分布电荷体系在空间中产生的电位,体电荷：,面电荷

14、：,线电荷：,引入电位函数的意义： 简化电场的求解！,当电荷分布已知时，可以求出任一点的电位函数。对于点电荷 ，其周围的电位为,R为源点到场点的距离，如果取无穷远处电位为0，则,47,4 泊松方程 拉普拉斯方程,一、拉普拉斯运算,1、标量场的拉普拉斯运算,对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：,在直角坐标系中：,2、矢量场的拉普拉斯运算,在直角坐标系中：,拉普拉斯算符,48,二、静电场电位方程的建立,泊松方程,若空间内没有电荷分布：,拉普拉斯方程,49,例2.6：求全空间的电位分布,球外一点的电位函数,当,当,球内一点的电位函数,50,例2.7 求电偶极子的电位分布,解: 一对等值

15、异号的电荷相距一个小的距离 ，称为电偶极子,建立球坐标系,远处P点的电位函数：,51,电偶极矩,圆柱坐标系,52,例2.8 平行板电容器由两块面积为S、距离为d，极板间为空气，板间加电压为U， 求极板间的电位和电场分布。,解: 忽略电场的边缘效应， 极板间电位 的拉普拉斯方程为其通解为,平行板电容器极板间电位是线性的，电场是匀强的。,53,电介质的极化 1）正常状态下正负电荷中心重合； 2）位移极化是分子的正负电荷中心在电场的作用下发生位移的现象 3)均匀介质极化是在介质表面出现极化电荷。 4）介质被极化后，每个分子可以看作是一个电偶极子,2.2.3 电介质中的高斯定律及边界条件,1、电介质中的高斯定理,（1）、极化,极化电荷（束缚电荷）,54,（2） 极化强度矢量,用极化强度矢量表示电介质被极化的程度。,物理意义：表示单位体积内电偶极矩矢量和。,（3） 极化强度与电场强度的关系,