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1、1,机械工程控制基础第三章 瞬态响应及误差分析(时域分析法)19 October 2018,2,前 言,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能(稳、快、准）。 动态过程（过渡过程、瞬态过程）：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。 稳态过程：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。 时域法的特点直观、准确,3,3-1 时间响应的概念,一. 系统的输入信号 研究系统的
2、动态特性：就是研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，也即系统对输入如何产生响应。 2. 输入信号分类：确定性信号和非确定性信号确定性信号是其变量和自变量之间的关系能够用某一确定性函数描述的信号例如，为了研究机床的动态特性，用电磁激振器给机床输入一个作用力F=Asint，这个作用力就是一个确定性信号非确定性信号是其变量和自变量之间的关系不能用某一确定性函数描述的信号，也就是说，它的变量与自变量之间的关系是随机的，只服从于某些统计规律例如，在车床上加工工件时，切削力就是非确定性信号由于工件材料的不均匀性和刀具实际角度的变化等等随机因素的影响，所以，无法用一确定的时间函数表示切削力的
3、变化规律,4,二. 典型输入信号,实际中经常使用下达两类输入信号： 其一是系统正常工作时的输入信号，使用这类输入信号，既简便又不会因外加扰动而破坏系统的正常运行，然而，这不一定能保证有足够的能激励系统的信息，从而获得对系统动态特性的全面了解； 其二是外加测试信号。这是更常用的一类输入信号。 常用的输入信号：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。,5,常用的典型输入信号有以下几种： 单位阶跃信号 单位斜坡信号 加速度信号 单位脉冲信号 正弦信号,6,当A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为,阶跃函数,7,当A=1时称为单位斜坡函数,
4、其数学表达式为,斜坡函数(速度信号),8,当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为,抛物线函数(加速度信号),9,当A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为,脉冲函数,10,正弦函数,11,时域法常用的典型输入信号,12,2. 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点：(1) 数学处理简单，在给定典型信号作用下，易确定系统的性能指标， 便于系统分析和设计；(2) 在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的依据；(3) 便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和传递函数。,二. 典型输入信号,13,3. 选取试验输入信号的原则：,选取的输入信号应反映系统工作的大部分
5、实际情况； 形式简单，便于用数学式表达及分析处理，实际中可以实现或近似实现； 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入信号作为典型试验信号；,如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统 。,如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号,如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号； 宇宙飞船控制系统,如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号,如控制系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号,14,1、时间响应,定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与
6、系统在输入作用下的动态历程。,三、瞬态响应和稳态响应,2、瞬态响应和稳态响应 瞬态响应：系统在某一输入信号的作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 稳态响应：当某一输入信号的作用下，系统的响应在时间趋于无穷大时的输出状态。,因为实际的物理系统总是包含一些储能元件，如质量、弹簧、电感，电容等元件，所以当输入信号作用于系统时，系统的输出量不能立刻跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。,15,3、零输入响应和零状态响应零输入响应：系统在没有外部输入情况下，仅由系统的初始状态引起的响应；零状态响应：系统在零初始条件的作用下，仅由外部激励所引起的响应。,16,瞬态响应和
7、稳态响应(课本P42）,为进一步深入而全面地认识时间响应起见，我们来看一下线性系统微分方程的解将会得到清晰的概念。由高等数学知，初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。这时的微分方程称为非齐次微分方程，即存在等式右边的输入项，它的全解包含通解和特解两个部分。 通解由非齐次微分方程的齐次式(等式右边项取为零-输入为零)求得，可知通解完全由初始条件(贮存的初始能量。例如机械系统弹簧的初始拉伸与压缩，电系统中电容上有初始电压等)引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应(如机械振动中的自由振动)。 特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应(如机械振动的
8、强迫振动)。 机械工程控制所要着重研究的三个问题，即对系统的三个要求系统稳定性、响应快速性、响应准确性，是同自由(然)响应密切相关的,17,3-2 一阶系统的时间响应,一阶系统的数学模型 一阶系统：由一阶微分方程描述的系统，惯性环节是典型形式。G(s)= T=1/k,系统的阶次是指传递函数分母的最高阶次。,T为时间常数，是表征系统惯性一个主要参数。,18,二.一阶系统的单位阶跃响应,19,一阶系统单位阶跃响应的特点: 1. 响应分为两部分: 第一项稳态响应：1，表示t时，系统的输出状态. 第二项瞬态响应：-e-t/T，表示系统输出量从初态到终 态的变化过程（动态/过渡过程） 2. XO(0)=
9、 0，随时间的推移， Xo(t) 指数增大，且无 振荡。Xo() = 1，无稳态误差； XO(T)= 1 e-1= 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T。,20,4.5. 时间常数T：反映系统响应的快慢。 T越小，x0(t)上升速度越快，达到稳态 值用的时间越短，即系统的惯性越小。 6. 调整时间ts:理论上的调整时间是，通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。课本P44，例3-1；,21,例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的
10、调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解：系统的闭环传递函数,22,例2 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取值。,23,三.一阶系统的单位脉冲响应,24,定义曲线衰减到初值2的时间为过渡过程时间，或称为调整时间，记为ts,25,一阶系统单位脉冲响应的特点： 1. 瞬态响应：(1/T )e t/T；稳态响应0； 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取决于组成系统的参数，不取决于外
11、作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减。 5.6. 对于实际系统，通常应用 具有较小脉冲宽度（脉冲宽 度小于0.1T）和有限幅值的 脉冲代替理想脉冲信号。,0,t,T,26,四、一阶系统单位斜坡（速度）响应,27,一阶系统单位速度响应的特点,瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T；,经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t T，即输出相对于输入滞后时间T；,系统响应误差为：,28,1. 典型外作用(t 0)（1）单位脉冲信号 (t) （2）单位阶跃信号 1(t)（3）单位斜坡（速度）信号 t（4）单位加速度信号
12、 ()t2（5）正弦信号 A sin(wt+),五、一阶系统响应小结,2、典型时间响应（1）单位脉冲响应（2）单位阶跃响应（3）单位斜坡（速度）响应（4）单位加速度响应,前四者为导数关系,四者互为导数关系,29,五、一阶系统响应小结,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应 的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。(只适用于线性定常系统),30,五、一阶系统响应小结,时间常数T确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。,瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。输入试
13、验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。,31,32,3.3 二阶系统的瞬态响应,一. 二阶系统的典型传递函数,能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统总包含两个贮能元件，能量在两个元件之间相互转换，引起系统具有往复振荡的趋势 。RLC、kmc就是典型的二阶系统。,闭环传递函数, 阻尼比,无阻尼自然频率,也称无阻尼振荡频率、自然振荡频率 ，简称固有频率,33,式中 n 无阻尼固有频率 系统的阻尼比Tm 时间常数 Km 开环增益 它们之间的关系：,一. 二阶系统的数学模型,其开环传递函数：,2,34,闭环特征方程(即令传递函数分母为0)为：其特征
14、根即为闭环传递函数的极点，为,显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复平面的分布决定系统的性能，如稳定性。,闭环传递函数,35,欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0 1,具有两个不相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,37,零阻尼二阶系统： 0,具有一对共轭虚极点：,系统时域响应含有复指数振荡项：,负阻尼二阶系统： 0,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。,38,欠阻尼系统,临界阻尼,过阻尼,零阻尼,01,=0,39,1. 临界阻尼（=1）,系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。
15、,单位阶跃响应,传递函数,二、二阶系统单位阶跃响应,40,取拉氏反变换得其时间响应：,特点,单调上升，无 振荡、单调增长；,xo () = 1，无稳态误差。,41,2. 过阻尼情况（1）:二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为:,式中：,过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。,42,特点,单调上升，无振荡，过渡过程时间长,xo () = 1，无稳态误差。,当系统的输入信号为单位阶跃函数时，,43,二、二阶系统单位阶跃响应,3. 欠阻尼情况（0 1）,系统具有一对共轭复数极点且具有负实部，,单位阶跃响应,44,令,取拉氏反变换得其时间响应：,阻尼振荡频率,上式中第一项是稳态分量(=1)；第二项是瞬态项，为减幅正弦振荡函数，振幅随时间的增加而减小。衰减速度取决于该系统的时间衰减常数1/(n)， n 是衰减系数。,45,46,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点,xo() = 1；,
