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1、第十章 概率与统计初步10.1 概率论起源_1654 年 8 月, 法国数学家、物理学家、哲学家布莱斯帕斯卡(BPascal)在写给数学家皮埃尔德费马(PDe Fermat)的信中提出了所谓“得分问题”: 即在一场机会博弈中, 已知两个博弈者在中断时的得分以及赢得博弈需要的分数, 假定这两个博弈者有同等的熟练程度, 求奖金该如何分配问题 问题是 A、B 两名球艺相近的网球队员进行比赛, 每人赢一局的概率相等, 即各为, 1 2每赢一局的得一分, 输一局不得分, 在最后决战时, 假设 A 再赢 2 局或 B 再赢 3 局就可获得整笔 6400 元奖金如果他们商议停止比赛而分享奖金, 这时该如何公
2、正地分配这笔奖金？我们知道, 按规定最多只需进行 4 局比赛便能决定胜负, 因为在后面的 4 局中, 所出现的情况共有 222216 种, 其中 A 可赢得 4 分、3 分、2 分, 而 B 可赢得 4 分、3 分, 二者不可同时出现, 而有一个出现, 比赛便终止在 4 局比赛中, 其可能出现的 16 种结果分别为: AAAA、AAAB、AABA、ABAA、BAAA、AABB、ABAB, ABBA、BBAA、BABA、BAAB、BBBB、BBBA、BBAB、BABB, ABBB 在 4 局中, A 出现等于或多于 2 次, 则 A 获胜, 这样的情况有 11 种; B 出现等于或多于 3 次,
3、 则 B 获胜, 这样情况有 5 种 因此他们赢得的概率分别为 P（A）=; P（B）=11 165 16由此推得 A、B 获得奖金的比应是 11: 5 这样在 6400 元奖金中, A 应分得 4400 元, B 只能分得 2000 元 1657 年荷兰数学家惠更斯（Christian Huygens）在帕斯卡和费尔马通信的基础上于1657 年出版了论赌博中的计算一书, 惠更斯这一著作是概率论产生的标志之一, 它是概率论发展史上第一部专著, 因此可以说早期概率与数理统计的创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯 10.2 随机事件的概率_自然界发生的现象是多种多样的有一类现象, 在一定条件下必然要发生
4、, 例如, 向上抛出一块石头必然下落, 同性电荷必不相互吸引, 等等这类现象称为确定性现象在自然界还存在着另一类现象, 例如, 在相同条件下抛同一枚硬币, 其结果可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在每次抛币之前无法肯定抛掷的结果是什么; 用同一门炮向同一目标射击, 各次弹着点不尽相同, 在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置这类现象在一定的条件下可能出现这样的结果, 也可能出现那样的结果, 而在试验或观察之前不能预知确切的结果但人们经过长期实践并深入研究之后, 发现这类现象在大量重复试验或观察之下, 它的结果却呈现出某种规律性多次重复抛一枚硬币, 得到正面朝上的次数大致有一半; 同一门
5、炮射击一定目标的弹着点按一定的规律分布等等我们把这种在大量重复试验或观测下, 其结果所呈现出的固有规律性, 称为统计规律性而把这种在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象, 我们称之为随机现象概率统计的理论与方法的应用是很广泛的, 几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济中例如, 使用概率统计方法可以进行气象预报、水文预报及地震预报、产品的抽样验收; 在研制新产品时, 为寻求最佳生产方案可用以进行试验设计和数据处理; 在可靠性工程中, 使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性及平均寿命的估计; 在自动控制中用以给出数学模型以便通过计算机控制工业生产
6、; 在通信工程中可用以提高信号的抗干扰性和分辨率等等一、随机事件的概念、关系和运算我们遇到过各种试验在这里我们把试验作为一个含义广泛的术语, 它包括各种各样的科学实验, 甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验下面举一些试验的例子 : 抛一枚硬币, 观察正面, 反面出现的情况; 1EHT: 将一枚硬币抛掷三次, 观察正面, 反面出现的情况; 2EHT: 将一枚硬币抛掷三次, 观察出现正面的次数; 3EH: 抛一颗骰子, 观察出现的点数; 4E: 记录每分钟进入义乌市场的人数; 5E: 在一批液晶显示器中任意抽取一台, 测试它的使用寿命 6E上面举出了六个试验的例子, 它们有着共同的特点例
7、如, 试验有两种可能的结果, 1E出现或者出现, 且这个试验可以在相同条件下重复地进行又如试验, 我们知道显HT6E示器的寿命(以小时计), 但在测试之前不能确定它的寿命有多长, 这一试验也可以在0t 相同条件下重复地进行概括起来, 这些试验具有以下的特点: 1可以在相同的条件下重复地进行; 2试验的所有可能结果是事先知道的, 而且不止一个; 3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现在概率论中, 我们将具有上述特点的试验称为随机试验, 以后提到的试验都是随机试验 对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能预知试验的结果, 但试验的所有可能结果组成的集合是已知的我们将随机试验的所有可能结果组成的集
8、合称为的样本空间, 记为EE样本空间的元素, 即的每个结果, 称为样本点 SE【例 1】 写出前面试验() 的样本空间kE1,2,6k kS【解】 : , ; 1SHT: ; 2S,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT: ; 3S0,1,2,3: ; 4S1,2,3,4,5,6: ; 5S0,1,2,3: 6S|0t t 注注样本空间的元素是由试验的目的所确定的例如, 和中同是将一枚硬2E3E币抛三次, 由于试验的目的不一样, 其样本空间也不一样 在实际中, 在进行随机试验时, 人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合例如, 若规定某种显示器的寿命(小时)小于
9、 5000 为次品, 则在中我们关心显示器的6E寿命是否满足这一条件的样本点组成的一个: , 我们称5000t 6S|5000At t为试验的一个随机事件显然, 当且仅当子集: 中的一个样本点出现时, 有A6EA 5000t 一般, 我们称试验的样本空间的子集为的随机事件, 简称事件在每次试验中, ESE当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生 特别, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件例如, 试验有两个基本事件1E和; 试验有 6 个基本事件 H T4E 1 , 2 ,., 6样本空间包含所有的样本点, 它是自身的子集, 在每次试验中它总是发生的, 称为SS必然事件空集不
10、包含任何样本点, 它也作为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生, 称为不可能事件. 下面还是以前面试验为例. 在中事件: “第一次出现的是”, 即事2E1AH1A,HHH HHT HTH HTT件: “三次出现同一面”, 即2A2A,HHH TTT在中, 事件: “寿命小于 10000 小时”, 即6E3A3A|010000tt 一个样本空间 中, 可以有很多的随机事件概率论的任务之一, 是研究随机事件发生的可能性的大小为此, 下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算, 通过研究事件间的各种关系, 进而研究事件间的概率的各种关系, 就有可能利用较简单事件的概率去推算较复杂的事件的概率 设试
11、验E的样本空间为, 而是的子集 S, ,(1,2,)kA B A k S（1） 事件的包含与相等: 若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件包含事件B, 记为AB 或者BA ; 若BA 且AB , 即BA , 则称事件A与事件B相A等 （2） 事件的和: 事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的和事件, 记为事件发生意味着: 或事件A发生, 或事件B发生, 或事件A与事ABAB件B都发生 事件的和可以推广到多个事件的情景, 设有n个事件, 定义它们的和事件12,nA AA为中至少有一个发生, 记为 12,nA AA 1nikA （3） 事件的积: 事件A与事件B都发生的事件称为
12、事件A与事件B的积事件, 记为, 也简记为AB事件（或AB）发生意味着事件A发生且事件B也发生, ABAB即A与B都发生 类似地, 可以定义n个事件的积事件=都发生 12,nA AA 1nikA 12,nA AA（4） 事件的差: 事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差事件, 记为BA （5） 互斥事件: 若事件A与事件B不能同时发生, 即, 则称事件A与事件AB B是互斥的, 或互不相容的若事件中的任意两个都互斥, 则称这些事件是12,nA AA两两互斥的 （6） 对立事件: “A不发生”的事件称为事件A的对立事件（或逆事件）, 记为A和满足: , , AAAASUAA AA（
13、7） 事件运算满足的定律: 设为事件, 则有, ,A B C交换律: , ; ABBAABBA结合律: , ; ()()ABCABC()()AB CA BC分配律: , ; ()()()AB CACBC()()()ABCAC BC对偶律: , ABABABAB这些运算律和集合的运算律是一致的 【例 2】 在例 1 中有, 12,AAHHH HHT HTH HTT TTT, 12AAHHH, 21AATTT12,AATHT TTH THH【例 3】 向指定目标射三枪, 观察射中目标的情况用分别表示事件“第一、123,A A A二、三枪击中目标”, 试用表示以下各事件: 123,A A A（1）只
14、击中第一枪; （2）只击中一枪; （3）三枪都没击中; （4）至少击中一枪 【解】 （1）事件“只击中第一枪”, 意味着第二枪不中, 第三枪也不中所以可以表示成 123A A A（2）事件“只击中一枪”, 并不指定哪一枪击中, 三个事件“只击中第一枪”、 “只击中第二枪”、 “只击中第三枪”中, 任意一个发生, 都意味着事件“只击中一枪”发生同时, 因为上述三个事件互不相容, 所以可以表示成 123123123A A AA A AA A A（3）事件“三枪都没击中”, 就是事件“第一、二、三枪都未击中”所以可以表示成 123A A A（4）事件“至少击中一枪”, 就是事件“第一、二、三枪至少有
15、一次击中”, 所以可以表示成或 123AAA123123123A A AA A AA A A123123123123A A AA A AA A AA A A二、随机事件的概率除必然事件和不可能事件外, 对于一个事件来说, 它在一次试验中可能发生, 也可能不发生, 我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性有多大例如, 为了确定河堤的高度, 就要知道河流在造河堤地段每年最大洪水达到某一高度这一事件发生的可能性大小因此需要找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小概率概率的统计定义 【定义 1】 在相同的条件下, 进行了次试验, 在这次试验中, 事件发生的次数nnA称为事件发生的频数比值称为事件发生的频率, 并记成 AnAAn nA nfA由定义, 易见频率具有下述基本性质: （1）; 01nfA（2） ; 1nfS （3）若 是两两互不相容的事件, 则12A ,kAA 1212nknnnkfAAAfAfAfA
