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1、构造全等三角形证题构造全等三角形证题张朋温在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系。 现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例 1. 如图 1,AD 是ABC 的中线,求证:ABAC2AD。证明:延长 AD 至 E,使 ADDE,连接 CE。如图 2。AD 是ABC 的中线,BDCD。 又12,ADDE,ABDECD(SAS) 。ABCE。 在ACE 中,CEACAE,ABAC2AD。二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2. 如图 3,在ABC 中,12,ABC2C。求证:ABBDAC。证明:将ABD 沿 AD 翻折,点 B 落在 AC 上的 E 点
2、处,即:在 AC 上截取 AEAB,连接 ED。如图 4。12,ADAD,ABAE, ABDAED(SAS) 。 BDED,ABCAED2C。 而AEDCEDC,CEDC。所以 ECEDBD。 ACAEEC,ABBDAC。三、作平行线构造全等三角形 例 3. 如图 5,ABC 中,ABAC。E 是 AB 上异于 A、B 的任意一点,延长 AC 到 D,使 CDBE,连接 DE 交 BC 于 F。求证:EFFD。证明:过 E 作 EMAC 交 BC 于 M,如图 6。 则EMBACB,MEFCDF。ABAC,BACB。 BEMB。故 EMBE。 BECD,EMCD。 又EFMDFC,MEFCDF
3、,EFMDFC(AAS) 。EFFD。四、作垂线构造全等三角形 例 4. 如图 7,在ABC 中,BAC90,ABAC。M 是 AC 边的中点。ADBM 交 BC 于 D,交 BM 于 E。求证:AMBDMC。证明:作 CFAC 交 AD 的延长线于 F。如图 8。BAC90,ADBM, FACABM90BAE。 ABAC,BAMACF90, ABMCAF(ASA) 。 FAMB,AMCF。 AMCM,CFCM。 MCDFCD45,CDCD, MCDFCD(SAS) 。所以FDMC。 AMBFDMC。五、沿高线翻折构造全等三角形 例 5. 如图 9,在ABC 中,ADBC 于 D,BADCAD
4、。求证:ABAC。证明:把ADC 沿高 AD 翻折,点 C 落在线段 DB 上的 E 点处,即:在 DB 上截取 DEDC,连接 AE。如图 10。ADCADE(SAS) 。ACAE,CAED。 AEDB,CB。从而 ABAC。六、绕点旋转构造全等三角形 例 6. 如图 11,正方形 ABCD 中,12,Q 在 DC 上,P 在 BC 上。求证: PAPBDQ。证明:将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90,使 AD 与 AB 重合,得到ABM, 即:延长 CB 到 M,使 BMDQ,连接 AM。如图 12。ABMADQ(SAS) 。 421,MAQD。 ABCD,AQDBAQ1343MAP。 MMAP。 PAPMPBBMPBDQ(因 BMDQ) 。