构造全等三角形证题

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1、构造全等三角形证题构造全等三角形证题张朋温在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。 现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例 1. 如图 1，AD 是ABC 的中线，求证：ABAC2AD。证明：延长 AD 至 E，使 ADDE，连接 CE。如图 2。AD 是ABC 的中线，BDCD。 又12，ADDE，ABDECD（SAS） 。ABCE。 在ACE 中，CEACAE，ABAC2AD。二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例 2. 如图 3，在ABC 中，12，ABC2C。求证：ABBDAC。证明：将ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在 AC 上的 E 点

2、处，即：在 AC 上截取 AEAB，连接 ED。如图 4。12，ADAD，ABAE， ABDAED（SAS） 。 BDED，ABCAED2C。 而AEDCEDC，CEDC。所以 ECEDBD。 ACAEEC，ABBDAC。三、作平行线构造全等三角形 例 3. 如图 5，ABC 中，ABAC。E 是 AB 上异于 A、B 的任意一点，延长 AC 到 D，使 CDBE，连接 DE 交 BC 于 F。求证：EFFD。证明：过 E 作 EMAC 交 BC 于 M，如图 6。 则EMBACB，MEFCDF。ABAC，BACB。 BEMB。故 EMBE。 BECD，EMCD。 又EFMDFC，MEFCDF

3、，EFMDFC（AAS） 。EFFD。四、作垂线构造全等三角形 例 4. 如图 7，在ABC 中，BAC90，ABAC。M 是 AC 边的中点。ADBM 交 BC 于 D，交 BM 于 E。求证：AMBDMC。证明：作 CFAC 交 AD 的延长线于 F。如图 8。BAC90，ADBM， FACABM90BAE。 ABAC，BAMACF90， ABMCAF（ASA） 。 FAMB，AMCF。 AMCM，CFCM。 MCDFCD45，CDCD， MCDFCD（SAS） 。所以FDMC。 AMBFDMC。五、沿高线翻折构造全等三角形 例 5. 如图 9，在ABC 中，ADBC 于 D，BADCAD

4、。求证：ABAC。证明：把ADC 沿高 AD 翻折，点 C 落在线段 DB 上的 E 点处，即：在 DB 上截取 DEDC，连接 AE。如图 10。ADCADE（SAS） 。ACAE，CAED。 AEDB，CB。从而 ABAC。六、绕点旋转构造全等三角形 例 6. 如图 11，正方形 ABCD 中，12，Q 在 DC 上，P 在 BC 上。求证： PAPBDQ。证明：将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，使 AD 与 AB 重合，得到ABM， 即：延长 CB 到 M，使 BMDQ，连接 AM。如图 12。ABMADQ（SAS） 。 421，MAQD。 ABCD，AQDBAQ1343MAP。 MMAP。 PAPMPBBMPBDQ（因 BMDQ） 。