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1、72.92.9 证明：若 ，则 。T)(nt2T), 1 (nF证证 因为，由 分布定义可知，必有，两者相互独立，T)(ntt) 1 ,0(N)(2n使得 ，这时 。nT2Tnn122 因为 ，由分布定义可知 ，而且因为 与 相互独立，) 1 ,0(N22) 1 (2所以 与 相互独立，因此，由分布定义可知2)(2nF 。2Tn12 ), 1 (nF2.102.10 设（）是总体 的样本，证明：nmmmXXXXX,121),(2N 。 nmmiimiiXnXm1212)(1)(1 ),(nmF证证 因为（）是总体 的样本，所以nmmmXXXXX,121),(2N， ，iX),(2NiX) 1,
2、 0(Nnmi, 2, 1而且它们相互独立。由分布定义可知2， miimiiXX1212 2)(1 )(2m，nmmiinmmiiXX1212 2)(1 )(2n而且两者相互独立。 所以，由分布定义可知F 。 nmmiimiiXnXm1212)(1)(1nXmXnmmiimii 12 212 2)(1)(1),(nmF82.112.11 设 （） 是总体 的样本， 是样本均值， mXXX,21),(2NX2*S是修正样本方差，另有 ， 与 相互独立，证明：1mX),(2N1mXmXXX,21 。1*1 mm SXXm) 1(mt证法一证法一 因为是总体的样本，所以由定理 2.5 可知，),(2
3、1mXXX),(2N。X),(2mN另外已知，它与相互独立，因此它也与相互独立，1mX),(2NmXXX,21X由正态分布的可加性可知 ，即有1mXX),0(22 mN。21 1 mmXXm ) 1, 0(N由定理 2.8（Fisher 引理）可知，而且与相互独立。22*) 1( Sm) 1(2mX2*S另外又已知与相互独立，因此也与相互独立，所以1mXmXXX,211mX2*S与 相互独立。21 1 mmXXm 22*) 1( Sm因此，由 分布的定义可知t 。1*1 mm SXXm) 1(*) 1(12221mSmmmXXm ) 1(mt证法二证法二 因为 ，可看作是另一个总体 的样本，样
4、本容1mX),(2N1mX),(2N量 ，样本均值 。1n1mXY9由定理 2.12 可知 ，其中nmSYXw11)()(21)2( nmt，)()()()(121mXXYX1mXX，2*) 1(*) 1(22nmSnSmSyx w*21*) 11 (*) 1(22 SmSSmy， 。mm mnm1 111111212mmnm所以有 。1*1 mm SXXmmmSXXm 1*1 nmSYXw11)()(21) 1(mt2.122.12 设总体 ， ，其中 ， 是已知常数，),(2 1aN),(2 2bN0a0b。 是 的样本， 是 的样本，两个样本相互ba ),(21nXXX),(21nYYY
5、独立，是的样本均值， niiXnX11 njjYnY11, niixXXnS122)(11*是的修正样本方差。证明： njjyYYnS122)(11*, 。nbabSaSYXyx2)(*()()(2221)22(nt证证 因为 ，所以由定理 2.5 可知),(2 1aN),(2 2bN ， ，X),(21naNY),(22nbN而且它们相互独立（因为两个样本相互独立） ，因此有 ，YX )(,(221nbaN即有10 。nbaYX221 )()()() 1 ,0(N同时，又因为 ，所以由定理 2.8（Fisher 引),(2 1aN),(2 2bN理）可知 ， ，22*) 1( aSnx) 1(2n22*) 1(bSny) 1(2n而且它们相互独立（因为两个样本相互独立） ，因此，根据 分布的可加性，有2 。2222*) 1(*) 1( bSnaSnyx)22(2n因为与独立，与独立，两个样本又相互独立，所以X2*xSY2*yS与 相互独立。nbaYX221 )()()(2222*) 1(*) 1( bSnaSnyx因此，由 分布的定义可知t nbabSaSYXyx2)(*()()(2221)22(*) 1(*) 1()()()(2222221 nbSnaSnnbaYXyx )22(nt。
