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1、20122013 学年第一学期高二理科数学培优 91数列求和常用方法数列求和常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnnnaaanSn n2) 1( 2)(112、 等比数列求和公式： ) 1(11)1 () 1(111qqqaa qqaqna Snn n3、 基本数列 2n的前n项和：nS) 12)(1(61nnn.例 1.（2012 高考湖北理 18）已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8.（）求等差数列na的通项公式；（）若2a，3a，1a成等比数列，求数列|na的前n项和.【
2、答案】 （）设等差数列na的公差为d，则21aad，312aad，由题意得1111333,()(2 )8.ada ad ad 解得12,3,ad 或14,3.ad 所以由等差数列通项公式可得 23(1)35nann ，或43(1)37nann .故35nan ，或37nan. （）当35nan 时，2a，3a，1a分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a，3a，1a分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.故37,1,2,| |37|37,3.nnnannn记数列|na的前n项和为nS.当1n 时，11| 4Sa；当2n 时，212| 5Saa；当3n 时，234|nnSSaaa5(
3、3 37)(347)(37)n 2(2)2(37)311510222nnnn. 当2n 时，满足此式.综上，24,1, 31110,1.22nn Snnn二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。 na nbnnbannS例 2.（20112011辽宁高考理科辽宁高考理科1717）已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8= -10（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前 n 项和 12nna20122013 学年第一学期高二理科数学培优 92()设等差数列的公差为， 由已知条件可得故数列的通项公式为 nad ,10122, 011 dada .
4、 1, 11 da na.2nan（）设数列的前项和为，即=故=1， 12nnannSnS,2212 1nnaaa1S.所以，当1 时，=-nnnaaaS 242221n2nS1112 122nnnaaaaanna 2=，所以=nnn 22)21 41 21(11nnn 22)211 (11nn 2nS12nn综上，数列的前项和=. 12nnannS12nn三、倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例 3 .求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 练习：设，求的值。221)(xxf)6()5()0()4()5(fffff四、裂项求和法
5、 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新 组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）111 ) 1(1 nnnnan（2）)121 121(211) 12)(12()2(2nnnnnan（3）)2)(1(1 ) 1(121 )2)(1(1 nnnnnnnan（4）nnnn111例例 4.4.（20102010 山东理数）山东理数）已知等差数列满足：，的前 n 项和为 na37a 5726aa nanS11 11()()nan nkk nnk20122013 学年第一学期高二理科数学培优 93（）求及
6、 （）令 bn=(nN*)，求数列的前 n 项和nanS21 1na nbnT【解析】 （）设等差数列的公差为 d，因为，所以有 na37a 5726aa，解得，112721026adad 13,2ad所以；=。321)=2n+1nan（nSn(n-1)3n+222n +2n（）由（）知，所以 bn=，2n+1na 21 1na21=2n+1)1（11 4 n(n+1)111(-)4n n+1所以=，nT111111(1-+-)4223n n+111(1-)=4n+1n 4(n+1)即数列的前 n 项和=。 nbnTn 4(n+1)五、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是
7、等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例 5 求数列的前 n 项和：，231, 71, 41, 1112 naaan跟踪练习1.1.（20102010 福建理数）福建理数）3设等差数列的前 n 项和为,若,则当取最小值时,n 等 nanS111a 466aa nS于( ) A6 B7 C8 D9 【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，d461282 ( 11)86aaadd 2d 所以，所以当时，取最小值。22(1)11212(6)362nn nSnnnn 6n nS2. (2102 高考福建文 11）数列an的通项公式，其
8、前 n 项和为 Sn，则 S2012等于( ) 2cosnanA.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A 考点：考点：数列和三角函数的周期性。 难度：难度：中。 分析：分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答：解答： 02cos) 14(2) 14(cos) 14(14nnnan，20122013 学年第一学期高二理科数学培优 94)24(cos)24(2)24(cos)24(24nnnnan，023cos) 34(2) 34(cos) 34(34nnnan，442cos)44(2)44(cos)44(44nnnnan，所以14
9、na24na34na244na。即1006242012 2012S。3.（2010 全国）已知na是各项均为正数的等比数列，且12 12112()aaaa345 34511164()aaaaaa（1）求na的通项公式；（2）设21()nn nbaa，求数列 nb的前n项和nT。（定义法）（）设公比为 q，则.由已知有1 1n naa q11 11234 111234 111112,11164.aa qaa qa qa qa qa qa qa q化简得2 126 1264.a qa q，又，故10a 12,1qa所以 12nna（）由（）知221 211112424n nnnn nnbaaaa
10、因此11 11111411414.41.2244211444 1314nnnnn nnTnnn 4.（2010 重庆文数）已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. nanS nan（）求通项及；nanS（）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.nnba nbnnT（分组求和）20122013 学年第一学期高二理科数学培优 955. 非等比数列中，前 n 项和， （1）求数列的通项公式；na21(1)4nnSa na（2）设，是否存在最大的整数 m，使得对任意的 n 均有1 (3)n nbna(*)nN12nnTbbb总成立？若存在，求出 m；若不存
11、在，请说明理由。 （裂项相消）32nmT 6.(2012 高考浙江文 19)已知数列an的前n项和为Sn，且 Sn=，nN，数列bn满足22nnan=4log2bn3，nN. （1）求an，bn； （2）求数列anbn的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn=，得当n=1 时，；22nn113aS当n2 时，nN.1nnnaSS2222(1)(1)41nnnnn由an=4log2bn3，得，nN.21nbn（2）由（1）知，nN所以，1(41) 2nnna bn2137 2 11 2.41 2nnTn ，2323 27 211 2.41 2nnTn 21241 234(22.2)nn nnTTn，
12、nN.(45)25nn(45)25n nTn7.（2010 安徽文数）安徽文数）设12,nC CC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线3 3yx相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC相互外切，以nr表示nC的半径，已知 nr为递增数列.(1)证明： nr为等比数列；（2）设11r ，求数列 nn r的前n项和.【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设nC的圆心为(,0)n，得2nnr，同理得112nnr，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即 nr中1nr与nr的关系，证明 nr为等比数列；（2）利用（1）的结论求 nr的通项公式，代入数列
13、nn r，然后用错位相减法求和.20122013 学年第一学期高二理科数学培优 96n nnnn nn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 n nn nn 12331,sin,332 r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxC解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，故，从而，记S121 n121n121n1 1,r12*33*3 *31*32*3(1)*3*331 33.3*33 1 333*3()*3 ,222 3 9139(23)*3()*34224nnnnnnn nnn n nnnnnnnnnSn 则有SS, 得 2S8.(20118.(2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 21)21)在数 1 和 100 之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这n2n个数的乘积记作，再令.2nnT,lgnna
