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1、1,第4章 时变电磁场,2,4.1 波动方程,在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有,无源区的波动方程,波动方程 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。,麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场间的相互作用关系。,问题的提出,3,同理可得,推证,问题,若为有源空间，结果如何？,若为导电媒质，结果如何？,4,引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。,引入位函数的意义,位函数的定义,5,位函数的不确定性,满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。,即,也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。
2、,原因：未规定 的散度。,为任意可微函数,6,除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即,在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即,位函数的规范条件,造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性， 可通过规定 散度使位函数满足的方程得以简化。,7,位函数的微分方程,8,同样,9,说明,应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解； 解的物理意义非常清楚，明确地反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位只决定于J，标 量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需解出 就可得到待求的电场和磁场。,电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的
3、一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终得到的电磁场矢量是相同的。,10,进入体积V的能量体积V内增加的能量体积V内损耗的能量,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁能量密度：,空间区域V中的电磁能量：,特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。,电磁能量守恒关系：,电磁能量及守恒关系,11,其中：, 单位时间内体积V 中所增加的电磁能量。, 单位时间内电场对体积V中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。, 通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。,表征电磁能量守恒关系的定理,积分形式：,坡印廷定理,微分
4、形式：,12,在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有,将以上两式相减，得到,由,推证,13,即可得到坡印廷定理的微分形式,再利用矢量恒等式：,在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式,物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。,14,定义： ( W/m2 ),物理意义：,的方向 电磁能量传输的方向,的大小 通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率,描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量,坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,15,4. 4 惟一性定理,在以闭曲面
5、S为边界的有界区域V 内， 如果给定t0 时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。,惟一性定理的表述,在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。,惟一性问题,16,惟一性定理的证明,利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始
6、条件和边界条件。,则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程,令,17,根据坡印廷定理，应有,所以,由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得,根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数为,18,上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有,（证毕）,即,惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。,19,4. 5 时谐电磁场,复矢量的麦克斯韦方程,时谐电磁场的复数表示,复电容率和复磁导率,时谐场的位函数,亥姆霍兹方程,平均能流密度
7、矢量,20,时谐电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,研究时谐电磁场具有重要意义,在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。,4.5.1 时谐电磁场的复数表示,21,时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量
8、，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,利用三角公式,式中的A0为振幅、 为与坐标有关的相位因子。,时谐电磁场的复数表示,22,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。,照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。,由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部分就可表示复矢量。,23,例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,（2）,解：（1）由于,（1）,所以,24,（2）因为,故,所以,25,例4.5.2 已知电场强度复矢量,解,其中kz和Exm为实常数。
9、写出电场强度的瞬时矢量,26,以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得,将 、 与 交换次序，得,上式对任意 t 均成立。令 t0 ，得,4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程,令t/2 ，得,即,27,例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为,式中,解：（1）因为,故电场的复矢量为,试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。,28,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程,29,（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量,磁场强度瞬时值,30,实际的介质都存在损耗：导电媒质当电导率有限时，存在欧姆
10、损耗。电介质受到极化时，存在电极化损耗。磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。,4.5.3 复电容率和复磁导率,导电媒质的等效介电常数,其中c= j/、称为导电媒质的等效介电常数。,对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有,31,电介质的复介电常数,同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质,磁介质的复磁导率,对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。,对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为,对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。,32,理想介质,4.5.4 亥姆霍兹方程,在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。,瞬时矢量,复矢量,33,4.5.5 时谐场的位函数,在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。,洛仑兹条件,达朗贝尔方程,瞬时矢量,复矢量,
