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1、第五章 弹性理论的建立与一般原理,第五章 弹性理论的建立与一般原理,5-1 弹性力学基本方程和边界条件 5-2 位移解法与拉梅方程 5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程 5-4 应力函数解法 5-5 叠加原理 5-6 解的唯一性定理 5-7 圣维南原理,目 录,前面三章对弹性体的静力平衡条件、变形几何关系及本构关系进行了介绍，本章给出弹性力学的微分提法，即把弹性力学问题归结为偏微分方程的边值问题（根据基本方程和边界条件进行求解的数学问题）。接下来简单讨论弹性力学的三种基本解法：位移解法、应力解法和应力函数解法。最后再介绍弹性力学的几个一般原理：迭加原理、解的唯一性定理和圣维南原理。 弹性力
2、学的变分提法及有关的一般原理将在后面章节中介绍。,第五章 弹性理论的建立与一般原理,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,平衡微分方程 (考虑剪应力互等）,（1）,几何方程,（2）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,与工程应变相应的变形协调方程为,（3）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,应力-应变关系（本构方程、物理方程）,（4）,（5）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,由（1）、（2）、（4）（或（5）可知共有15个方程 和15个未知量，因此，在适当的边界条件下可以求解这 些方程，从而得到3个位移分量、6个应变分量和6个应 力分量。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,弹性
3、理论中常见的三种边界情况是：应力边界, 位移边界和混合边界。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为应力边界问题、位移边界问题和混合边界问题。,应力边界条件：,表示物体表面S上给定外力 的边界条件，l， m，n为 上一点的外法线对于坐标轴的方向余弦，并 且 为 上的点的已知函数。,（6）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,当 时，称为自由表面，它是力边界的特殊情况。集中力在弹性力学中应化为作用在微小面积上的均布表面力。集中力矩则化为非均布表面力。,（7）,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,位移边界条件：,当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为
4、 ，则有（在 上）：,其中 表示边界上的位移分量，而 在边界上是坐标的已知函数。有时也可指定边界位移的导数值（例如，转角为零）或应变值。在静力问题中，所给的应变值应足以防止物体的刚体运动。,混合边界条件,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边 界条件，令一部分边界上则具有已知面力。则两部分边 界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图所示， 悬臂梁左端面有位移边界条件：,上下面有应力边界条件：,右端面有应力边界条件：,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。 如图连杆支撑边界条件：,如图齿槽边界
5、条件：,在部分边界 上给定外力，部分边界 上给定位移的混合边界 。这时要求,其中，符号 分别表示两域之和与交，,(a),(b),（a）式表示 :在边界面上处处都应给定力或位移边界条件，如有遗漏，则解是不确定的。,（b）式表示，在已经给定力（或位移）边界条件的地方不能再指定相应的（即作用点和分解方向相同的）位移（或力）边界条件，否则若两者相互矛盾则无解；若两者不矛盾，则有一个条件是多余的。 除了上述三种情况外，有时还遇到给定边界力和边界位移之间弹性关系的情况，此情况称之为弹性边界。,则表示空域。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,对于弹性动力学问题，还应
6、给定初始条件，即,时刻的位移分量,和速度分量,弹性力学问题微分提法的基本思想是从研究弹性体内的小微元入手，导出描述微元的静力平衡，变形几何及弹性关系的一组基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。具体说，对于已知初始几何形状和材料性质的物体，在物体内部给定体力 ，在力边界 上给定面力 ，在位移边界 上给定位移 ，求下列两类偏微分方程组满足边界条件的解。,总结,(I),(II),弹性力学边值问题的求解方法： （1）以位移为基本未知量的位移解法； （2）以应力为基本未知量的应力解法（应力函数解法）； （3）以位移和应力为基本未知量的混合解法。 课上只介绍位移解法、
7、应力解法和应力函数解法。,5-1 弹性力学的基本方程和边界条件,位移解法的基本方程推导,由本构方程和几何方程知，6个应力分量可以通过位移 表示为,代入平衡方程得,5-2 位移解法与拉梅方程,位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。,(8),(9),(10),拉梅方程 （纳维方程）,5-2 位移解法与拉梅方程,给出相应的边界条件：设物体表面 ， 则可得用位移分量u，v，w表示的应力边界条件,(11),5-2 位移解法与拉梅方程,在 上,(12),式中记 , ,总结 位移解法就是以位移分量为基本未知量求满足边界条件（11）、（12）和微分方程（8）的解。求得位移分量后再由物理方程和几何方程求应力
8、和应变分量。,5-2 位移解法与拉梅方程,5-2 位移解法与拉梅方程,L-N方程是一组二阶线性偏微分方程，它的全解由齐次解和特解构成。先讨论齐次解，即无体力情况。此时有：对xi求导，并对指标i叠加后得：而 上式成为故第一应变不变量应满足调和方程,即,其中 称为调和算子或拉普拉斯算子。根据 ，其中K为常数。故第一应力不变量也满足调和方程。 同样可以证明： 其中称为重调和算子。因此，位移分量满足重调和方程。且有说明应力和应变分量也满足重调和方程。,5-2 位移解法与拉梅方程,综上所述，在无体力情况下，第一应变不变量、第一应力不变量都是调和函数。位移分量，应变分量和应力分量都是重调和函数。因此，弹性
9、力学的无体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。该结论同样适用于常体力情况。对于变体力情况，可先找一个特解（不必满足边界条件），然后与上述齐次解叠加，使全解满足全部边界条件。,5-2 位移解法与拉梅方程,现在来推导应力形式的变形协调条件。将应力-应 变关系改写成,将（a）式代入变形协调条件，并由（3）整理后得,（a）,应力解法是以应力分量作为基本未知量的解法。,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,（b）,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,（16）,利用平衡方程（1）可将（b）式进一步简化，得,拜耳托拉密- 米歇尔 （Berltrami- Michell） 方程,5-
10、3 应力解法与应力形式的变形协调方程,当体积力为常数，特别是当体积力为零时，式（16） 进一步简化为,（17）,用张量符号（16）和（17）可缩写成,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,对于无体力情况，得,这又一次说明第一应力不变量是调和函数，而应力分量是重调和函数。在第三章曾指出，六个应变协调方程并不完全独立，不能由它们独立解出六个应变分量。以此类推，六个应力协调方程也可能不完全独立，所以用应力解法解题时通常要求在域内同时满足六个B-M方程和三个平衡方程，且在边界上满足三个力边界条件。,对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以避开几何关系直接解出工程中关心的应力分量。但应力解法处理
11、位移边界条件相当困难。应力解法涉及六个二阶B-M方程，三个一阶平衡方程和三个力边界条件，对于几,何形状或载荷分布较复杂的问题求解比较困难，下节介绍的应力函数解法有利于克服这一困难。,5-3 应力解法与应力形式的变形协调方程,5-4 应力函数解法,在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的平衡方程。应变分量可由位移偏导数的组合来确定。 与此类似，在应力解法中也可引进某些自动满足平衡方程的函数，称为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。,应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求解应力分量）
12、，又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知量降为三个），所以是弹性理论中最常用的解法之一。具体求解过程将在以下各章中作详细介绍。,由应变分量的二阶偏导数可定义不协调量如下：当 时，协调方程成立。由于 的右端 对指标j,l反对称，而 对j,l对称，所以有： ，称之为比安奇(Bianchi)恒等式。 它在形式上与无体力平衡方程 相同。所以，对无体力情况，如果引入二阶对称张量 ，并按不协调量的形式用 的二阶偏导数来定义应力分量： 则平衡方程将自动满足。上式便是用应力函数 表示的应力公式。由 对指标m,n的对称性可以证明，上述定义的应力分量 对指标i,j也是对称的。,5-4 应力函数解法,
13、把应力函数定义应力的表达式代入应力协调方程，并考虑无体力情况有：这就是应力函数解法的定解方程，称为应力函数协调方程。对于三维弹性力学问题，可选 六个分量中的三个作为应力函数，有多种选择方案，其中常用的有： （1）取三个对角分量作独立的应力函数，令称为麦克斯韦(Maxwell)应力函数。注意到应力公式右端的展开式和应变协调方程的形式相同，对协调方程作如下变换：可直接写出用麦克斯韦应力函数表示的应力公式：,5-4 应力函数解法,（2）取三个非对角分量作独立的应力函数，令称为莫雷拉（Morera)应力函数。对应变协调方程作如下变换：可得用莫雷拉（Morera)应力函数表示的应力公式：,5-4 应力函
14、数解法,5-4 应力函数解法,除了上述两种选择方案外，其他选择方案都不如上述两方案简便。 对于二维问题，上述结果还可以进一步简化，如令麦克斯韦应力函数为：则 就是平面问题中的艾里（Airy）应力函数。若令莫雷拉应力函数为：则 就是柱形杆扭转问题中的普朗特（Prandtl）应力函数。,5-4 应力函数解法,几何方程,本构方程,平衡方程,满足,应力公式,积分 （位移单值条件）,协调方程,满足,解出,解出,自动满足,自动满足,5-4 应力函数解法,弹性力学解的叠加原理表述 小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和，且与载荷次序无关。 注:
15、对于线性弹性力学边值问题，由于基本方程和边界条件都是线性的，所以解的叠加原理的成立是不言而喻的，但是对于非线性问题和稳定性问题中叠加原理是不成立的.,5-5 叠加原理,在材料力学和结构力学中，人们常用叠加原理有效地 处理各种复杂载荷问题。,从弹性力学的一般理论出发来证明叠加原理的正确性。,设第一组载荷为体力 和面力,第二组载荷为体力 和面力,它们引起的应力和位移分别为 和 及 和 ，且仅考虑线弹性小变形情况，则联合载荷为,引起的应力和位移场为,5-5 叠加原理,现在以应力解法为基础来证明上述应力场是联合载荷作用下的解，即能满足平衡方程,应力协调方程,和力的边界条件,5-5 叠加原理,注意到上面三式或是线性微分方程或是线性代数方程，根据线性方程的性质把其改写成：,
