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1、1,8.4 单位力法 图乘法,虚功原理。,在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位 移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上 所作的功。,由虚功原理导出单位力法。,2,8.4 单位力法 图乘法,莫尔积分。,以弯矩的莫尔积分为例, 假设弯曲刚度为常数,则有:,由于单位力引起的弯矩沿梁的轴线一般呈线性分布,所以 可写为:,3,8.4 单位力法 图乘法,代入莫尔积分有:,是外载荷弯矩图的形心坐标。,4,8.4 单位力法 图乘法,注意事项:,1、图乘法是莫尔积分的简便计算方法。2、图乘法不仅仅适用于弯矩的莫尔积分,也同样适用于 轴力和扭矩的计算。3、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不
2、一样,图乘法 得到的代数值取负号。4、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则 分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也要分段应用图乘法。,5,8.4 单位力法 图乘法,例 求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。,解： 使用图乘法：,作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。,由于要计算自由端的挠度，应用单位力法，在梁的自由 端施加横向的单位集中力。,作出梁施加单位力时的弯矩图。,6,8.4 单位力法 图乘法,则有，根据图形互乘法，自由端的挠度为：,A,C,B,F,a,a,7,（3）几何协调方程（力法正则方程），相对位移为零：,作外力F和单位力的弯矩图：,（2）解除多余杆件约束（断开杆件），得到
3、静定基。,简支梁AB,其跨中作用有横力F,因刚度不足,用三根杆加强。已知梁的弯曲刚度为EI,各杆（1，2，3）的拉压刚度为EA, 且I=Aa2/10，求跨中C截面的挠度。,解：（1）判断超静定次数。一次超静定内力超静定,8,8.5 超静定问题 力法正则方程,同时考虑1，2，3杆的轴力和AB梁的弯矩有：,静定基上仅作用有单位力时有：,静定基上仅作用有力F时：,又：,所以有：,9,8.5 超静定问题 力法正则方程,弯矩图互乘有：,将轴力和弯矩互乘结果代入力法正则方程，有：,这样就求得了杆一的内力。,10,杆1的内力求出后，梁AB上的弯矩是力F引起的弯矩和杆1内力引 起的弯矩的叠加。,+,=,为求C
4、点挠度，在C点处施加单位力（在静定基上，杆1已经等价 为外力X1），得到弯矩图如下。,作用在C点的单位力不引起杆的轴力，将两弯矩图互乘有,11,8.5 超静定问题 力法正则方程,图a所示的是一平面封闭框架，其弯曲刚度为EI，试作其弯矩图。,解：此结构为内力超静定问题。,由于结构和载荷均对称， 可将结构沿AB截开。,一般来说，截面A和B处均有 轴力，剪力和弯矩三个未知 内力，方向如图所示。,由结构和载荷的对称性有：,MA=MB,结构由三次超静定转化为一次超静定问题。,12,8.5 超静定问题 力法正则方程,为求MA，需要建立A点（或者B点）处的几何协调方程， 同样地，由对称性可知，A点或者B点的转角都为零。在A，B 两点分别施加单位集中力偶，如图：,分别作出框架在力F和集中力偶作用下的 弯矩图：,单位力偶作用下的弯矩图,力F作用下的弯矩图,13,8.5 超静定问题 力法正则方程,根据力法正则方程：,M10,MF,根据图形互乘法：,所以有：,则：,弯矩图如图所示,14,8.5 超静定问题 力法正则方程,A，B两点有无相对水平位移？如何计算？,
