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1、单自由度系统自由振动,第一章,2018年10月19日,振动力学,2,教学内容,单自由度系统自由振动,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,2018年10月19日,振动力学,3,振动分析的力学模型,单自由度系统自由振动,对结构进行振动分析，首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型。这种力学模型不但要简单，而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结构等效。实际工程结构力学模型的建立, 是振动分析中很关键很难的一步。本课程只学习一些基本的概念。振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：质量、弹性和阻尼。,2018年10月19日,振动力
2、学,4,质量:和理论力学的概念一样，是物体惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;弹簧(刚度）:表示振动系统弹性的理想模型。简化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比;阻尼:任何振动在没有外界干扰(激励)时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多。,2018年10月19日,振动力学,5,无阻尼自由振动,令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，为静变形。,当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：,在静平衡位置：,固有振动或自由振动微分方程 ：,单自由度系统自由振动
3、,2018年10月19日,振动力学,6,固有振动或自由振动微分方程 ：,令 ：,单位：弧度/秒（rad/s）,则有 ：,通解 ：,任意常数，由初始条件决定,振幅 ：,初相位 ：,固有频率,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,7,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,8,系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,9,考虑系统在初始扰动下的自由振动,设 的初始位移和初始速度为：,令 ：,
4、有 ：,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,10,时刻以后的自由振动解为：,零时刻的初始条件：,零初始条件下的自由振动：,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,11,零初始条件下的自由振动：,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。,初始条件的说明：,初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能。,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,12,零初始条件下的自由振动：,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止
5、。,单自由度系统自由振动,初始条件：,固有频率从左到右：,时间,位置,2018年10月19日,振动力学,13,固有频率计算的另一种方式：,在静平衡位置：,则有：,对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该式计算是较为方便的 。,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,14,例： 提升机系统,重物重 量,钢丝绳的弹簧刚度,重物以 的速度均匀下降,求： 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,15,解：,振动频率,重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡
6、住瞬时重物所在位置,则 t=0 时，有：,振动解：,单自由度系统自由振动,静平衡位置,k,x,W,v,2018年10月19日,振动力学,16,振动解：,绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：,动张力几乎是静张力的一半,由于,为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,17,例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L，抗弯刚度 EJ,求： 梁的自由振动频率和最大挠度。,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,18,解：,由材料力学 ：,自由振动频率为 ：,取平衡位置,以梁承受重物时的
7、静平衡位置为坐标原点建立坐标系。,静变形,m,h,0,l/2,l/2,x,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,19,撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：,则自由振动振幅为 ：,梁的最大扰度：,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,20,例：圆盘转动,圆盘转动惯量 I,在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。,扭振固有频率,为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩,由牛顿第二定律：,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,21,由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动
8、与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的 。,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,22,从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018
9、年10月19日,振动力学,23,例：复摆,刚体质量 m,对悬点的转动惯量,重心 C,求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 。,a,0,C,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,24,解：,由牛顿定律 ：,因为微振动：,则有 ：,固有频率 ：,实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。,若已测出物体的固有频率 ，则可求出 ，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,25,例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动,斜面倾角 300,质量 m=1kg,弹簧刚度 k=49N/cm,开始时
10、弹簧无伸长，且速度为零,求： 系统的运动方程。,重力加速度取 9.8,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,26,解：,以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。,振动固有频率：,振动初始条件：,初始速度：,运动方程：,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,2018年10月19日,振动力学,27,小结：,单自由度系统自由振动无阻尼自由振动,单自由度系统自由振动分析的一般过程：,1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；,2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；,3、根据本征值，写出标准方程的通解；,4、根据初始条件，计算标准方程的特解。,单自由度
11、系统自由振动分析的一般目标：,1、求系统的固有角频率，即固有频率；,2、求解标准方程。,2018年10月19日,振动力学,28,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,29,能量法,对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。,无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：,或：,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,30,弹簧质量系统,动能：,势能：,（重力
12、势能）,（弹性势能）,不可能恒为 0,单自由度系统自由振动,零势能点,2018年10月19日,振动力学,31,如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置。,动能：,势能：,设新坐标,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,32,如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,33,考虑两个特殊位置上系统的能量,静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大,最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大,对于转动：,x 是广义的,单自由度系统
13、自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,34,例：如图所示是一个倒置的摆,摆球质量 m,刚杆质量忽略,每个弹簧的刚度,求:倒摆作微幅振动时的固有频率。,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,35,解法1：,广义坐标,动能,势能,零势能位置1,零势能位置1,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,36,解法2：,零势能位置2,动能,势能,零势能位置2,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,37,单自由度系统自由振动,例：均质圆柱质量m，半径R 与地面纯滚动 在A、B点挂有弹簧,确定系统微振动的固有频率,2018年10
14、月19日,振动力学,38,单自由度系统自由振动,解：,广义坐标：圆柱微转角,圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：,C点为运动瞬心,势能：,C,A点速度：,B点速度：,2018年10月19日,振动力学,39,单自由度系统自由振动,解：,动能：,势能：,C,2018年10月19日,振动力学,40,例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统,确定系统微振动的固有频率。,滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,41,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能：,单自由度系统自由振动能量法,2018年10
15、月19日,振动力学,42,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能：,单自由度系统自由振动能量法,2018年10月19日,振动力学,43,单自由度系统自由振动能量法,小结：,能量法的概念:利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：,求系统的固有频率和振动方程，固有频率即,2018年10月19日,振动力学,44,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,单自由度系统自由振动,2018年10月19日,振动力学,45,瑞利法, 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限;,单自由度系统自由振动瑞利法, 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。,2018年10月19日,振动力学,46,例如：弹簧质量系统,设弹簧的动能:,系统最大动能：,系统最大势能：,若忽略 ，则 增大,弹簧等效质量,单自由度系统自由振动瑞利法,因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.,2018年10月19日,振动力学,47,单自由度系统自由振动瑞利法,
