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1、材料力学,哈尔滨建筑大学 张如三 重庆建筑大学 王天明,教材选用：,中国建筑工业出版社,第一节 概述,第二节 外力偶矩T与内力扭矩M,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,第五节 切应力互等定律的证明,第六节 矩形截面等直杆在自由扭转时的应力和变形,第三章 扭转,第一节 概述, 扭转实例,Me, 扭转及其特点,变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线 仍为直线扭转变形,外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶,扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式扭转以扭转为主要变形的杆件轴,扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶矩或扭力矩,扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶扭力偶,目 录,
2、第一节 概述,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M,已知：动力装置的输出功率Nk（kW）,转速n（r/min）。 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（kN.m）。,设角速度为 (rad/s),例: Nk5 kW, n=1450 r/min, 则：, 外力偶矩计算轴的动力转递, 扭矩与扭矩图,扭矩定义矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用 T 表示。,符号规定矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。,扭矩：,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M,扭矩图:,（m轴单位长度内的扭力偶矩）,试分析轴的扭矩,表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）扭矩图,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M, 例 题,例1 : M
3、A=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图.,解：,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M,例2: 轴在MA作用下旋转，飞轮转动惯量为J,画扭矩图,解：,惯性力偶矩:,面积对转轴的平方矩。 从另一个角度说, 力矩/角加速度=转动惯量,目 录,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M,各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动, 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变.,扭转平面假设:,观察变形现象:, 各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动.,第二节 外力偶矩T和内力偶矩M,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形, 扭转,取楔形O1O2ABCD 为研究对象.,微段扭转变形 dj, 扭转
4、应力分析,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,物 理 方 面,几 何 方 面,dj / dx扭转 角变化率,静 力 学 方 面,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,应力与变形公式:,极惯性矩,抗扭截面系数,最大剪应力:,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,扭转应力 结 论:, 公式的适用范围：, 扭转变形基本公式：, 扭转切应力公式：, 最大扭转切应力：,研究方法：从试验、假设入手，综合考虑几何、物理与静力学三方面。,圆截面轴:,tmaxtp,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形, 圆轴扭转变形,GIp圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度。,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形, 薄壁圆管扭转切应力,假
5、设: 切应力沿壁厚均匀分布,应力公式:,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,公式精度:,在线弹性情况下，精确解：,适用范围:,适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹 性、各向同性与各向异性情况。,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形, 极惯性矩与抗扭截面系数, 空心圆截面, 实心圆截面,目 录,第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算, 圆轴扭转强度条件,等截面圆轴:,变截面圆轴:,Tu-材料的扭转极限应力,n -安全因数,塑性材料： t =（0.50.577）s,脆性材料： t = （0.81.0）st, 圆轴合理强度设计,1.合理截面形状,若 Ro/d 过大，则将
6、产生皱褶（即局部失稳）,空心截面比实心截面好,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,2.采用变截面轴与阶梯形轴,注意减缓应力集中,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算, 例 题:,例1: 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。,1.确定实心圆轴直径,解：,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,2.确定空心圆轴内、外径,3.重量比较,空心轴远比实心轴轻,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,1.扭矩分析,例2: R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m
7、，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管强度。,解：,2.强度校核,危险截面：A、B处,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,例3：密圈螺旋弹簧应力分析,1.内力分析,解：,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,2.应力分析,3.应力修正公式,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,圆轴扭转一般情况:,GIp圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度,对于常扭矩、等截面圆轴:, 圆轴扭转变形,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,-圆轴扭转刚度条件,q 单位长度的许用扭转角, 注意单位换算:, 一般传动轴， q = 0.5 1 ()/m, 圆轴扭转刚度条件,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算, 例 题:,
8、例4: 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，q = 0.5 ()/m 。jAC=? 校核轴的刚度.,解：1.变形分析,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,2.刚度校核,注意单位换算！,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,例5 : 试计算图示圆锥形轴的总扭转角。,解：,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算, 扭转静不定问题分析,问题: 试求图示轴两端的支反力偶矩,问题分析:,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一度静不定,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,建立补充方程:,计算支反力偶矩:
9、,联立求解方程(a)与(b),第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算, 例 题,例 6 : 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶，与矩为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。试求：圆盘的转角。,解：1.建立平衡方程,沿截面 B 切开,画受力图,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,2.建立补充方程,变形协调条件,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一度静不定,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,联立求解平衡与补充方程:,圆盘转角为:,3.扭矩与圆盘转角,目 录,第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算,第五节 切应力互等定理的证明, 证 明,如图：,取单元体：
10、,由,剪应力互等定理：,单元体互相垂直平面上的切应力大小相等，其方向都指向或背离两平面的交线。,目 录,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴。,试验现象:, 截面翘曲, 角点处 g 为零, 侧面中点处 g 最大。, 矩形截面轴扭转,应力分布特点:, 横截面上角点处，切应力为零； 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边； 横截面周边长边中点处，切应力最大。,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,弹性力学解:,系数 a, b, g 与 h/b 有关，见教材之表6-1。,长边中点 t 最大,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,狭窄矩形截面扭转：,h中心线总长
11、,推广,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 椭圆等非圆截面轴扭转, Wt, It 的量纲分别与 Wp, Ip 相同 计算公式见教材之附录D,椭圆、三角形等非圆截面轴:,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 截面中心线截面壁厚平分线。, 闭口薄壁杆截面中心线为封闭曲线的薄壁杆。, 开口薄壁杆截面中心线为非封闭曲线的薄壁杆。, 开口与闭口薄壁杆,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,假设: 切应力沿壁厚均匀分布, 并平行于中心线切线,td 剪流，代表中心线单位长度上的剪力.,应力公式:,闭口薄壁杆扭转应力与变形:,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, t 与截面中心线所围面积W 成
12、反比, tmax发生在壁厚最薄处,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,扭转变形:,对于等截面、常值扭矩薄壁圆管：,证明见后,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 开口薄壁杆扭转简介,扭转切应力沿截面周边呈环流分布，开口薄壁杆的抗扭性能差,采用隔板或肋板，将显著提高开口薄壁杆的抗扭性能,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 薄壁轴合理截面形状, 等壁厚比变壁厚好,在周长相同的条件下, 圆内所包含的面积最大（变分法）, 正方形比矩形好, 圆形比非圆形好, 闭口比开口好,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,判据：在中心线总长L相同的条件下，W 大者为好。,结论：在正四边形中, 正方形内包含的面积 W 最大,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形, 例 题:,例1: 求铆钉剪切力，铆钉总数n，壁厚d,解：,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,解:1.闭口薄壁圆管,例2: 比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能， 设 R020d,2.开口薄壁圆管,比较,3.抗扭性能比较,在抗扭性能方面，闭口薄壁杆远比开口薄壁杆好!,目 录,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,能量守恒定理:,闭口薄壁杆:,常扭矩、等截面闭口薄壁杆,得：,式中：,单元体 abcd :,第六节 矩形截面杆在扭转时的应力与变形,
