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1、第十节 函数模型及其应用,三年9考 高考指数: 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.,1.函数模型的应用是高考考查的重点. 2.建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力. 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主.,1.三种函数模型性质比较,相对平稳,随n值变化而不同,【即时应用】 (1)思考：对于直线上升、
2、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长? 提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长.,(2)当x越来越大时，判断下列四个函数中，增长速度最快的是_. y=2x,y=x10,y=lgx,y=10x2 【解析】由函数图象知，y=2x的增长速度最快. 答案:,(3)函数y=2x与y=x2的图象的交点个数是_. 【解析】由y=2x与y=x2的图象知有3个交点. 答案:3,(4)当2x4时,2x,x2,log2x的大小关系是_. 【解析】在同一平面直角坐标系中画出 函数y=log2x,y=x2,y=2x的图象,在区间 (2，4)内
3、从上往下依次是y=x2,y=2x, y=log2x的图象， 所以x22xlog2x. 答案: x22xlog2x,2.常见的几种函数模型 (1)直线模型:一次函数模型y=_,图象增长特点是直 线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是 正比例函数模型y=_. (2)反比例函数模型:y=_,增长特点是y随x的增大而减小.,kx+b(k0),kx(k0),(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0)，常形象地称为指数爆炸. (4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，增长特点是
4、随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a1, m0).,(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_(a0)，其特点是随着自变量的增大，函 数值先减小，后增大(a0).(6)分段函数模型： ,其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化 规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值 范围,特别是端点.,y=ax2+bx+c,【即时应用】 (1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2011年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y
5、与x的函数关系式是_.,(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用六种常见模型中的_.,(3)某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度，即可用来洗浴.洗浴时，已知每分钟放水34 L，若放水t分钟时，同时自动注水总量为2t2 L.当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L，则该热水器一次至多可供_人洗浴.,【解析】(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,则由题意得1-0.05=a50. a= y=( )xm= m,xN*. (2
6、)由增长特点知应选对数函数模型.,(3)在放水程序自动停止前,水箱中的水量为 y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5， 由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止, 共出水348.5=289(L)，289654.45. 故至多可供4人洗浴. 答案：(1)y= m,xN* (2)对数函数模型 (3)4,利用函数刻画实际问题 【方法点睛】 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.,【例1】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满
7、为止： (1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是_;,(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是_; (3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是_;,(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是_.【解题指南】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.,【规范解答】(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C； (2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，
8、所以应填A；,(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D； (4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B. 答案：(1)C (2)A (3)D (4)B,【反思感悟】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.,【变式训练】如图所示，一质点P(x,y) 在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变
9、，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速 度V=V(t)的图象大致为( ),【解析】选B.由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.,利用已知函数模型解决实际问题 【方法点睛】 利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题. 【提醒】要结合实
10、际意义限制自变量的范围.,【例2】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) (A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台,(2)为了预防流感,某学校对教室采用 药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过 程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释 放完毕后，y与t的函数关系式为 y= (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时
11、)之间的函数关系式为_.,【解题指南】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可. (2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.,【规范解答】(1)选C.要使生产者不亏本， 则有3 000+20x-0.1x225x, 解上式得：x-200或x150, 又0x0,y1=(10-m)x-20为增函数. 又0x200,xN, x=200时,生产A产品有最大利润为 (10-m)200-20=1 980-200m(万美元). 又y2=-0.05(x-100)2+460,0x120,xN, 当x=100时,生产B产品有最大利润为460(万美元).,因为(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m所以,当6m7.6时,可投资生产A产品200件; 当m=7.6时,投资生产A产品200件与生产B产品100件均可; 当7.6m8时,可投资生产B产品100件.,
