《量 第十九章 4(薛定谔方程 一维方势阱 隧道效应 线性谐振子)2009》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量 第十九章 4(薛定谔方程 一维方势阱 隧道效应 线性谐振子)2009（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,经典力学（质点） 量子力学(微观粒子) 特点 粒子性 波粒二象性运动情况 有轨道 无轨道状态描述 坐标 和动量 波函数 牛顿方程 薛定谔方程运动方程 ？,19-7 薛定谔方程及应用简例,薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程-量子力学基本假设 地位同经典物理的牛顿定律,薛定谔Erwin Schrodinger奥地利人1887-1961创立量子力学的波动理论获1933年诺贝尔物理学奖,一. 薛定谔方程,(一)、自由粒子薛定谔方程的引进,1. 自由粒子满足的方程,质量为m的自由粒子， 在非相对论下能量和动量的关系:,应该是薛定谔方程的解,自由粒子的波函数:,薛定谔给出自由粒子波函数满足的微分方程
2、是,将波函数代入可以验证该方程,2. 写薛定谔方程的简单途径 自由粒子波函数,微分,写出非相对论自由粒子能量动量关系式,写薛定谔方程的基本过程:,注意到,替换关系,将替换关系代入写成,得到自由粒子满足的薛定谔方程,令上述关系作用于波函数,替换关系,写出非相对论自由粒子能量动量关系式,(二)、势场中粒子的薛定谔方程 1.一维势场U(x,t) 中的粒子,粒子总能量,替换后关系式,替换关系,令其作用于波函数,得到一维势场中粒子满足的薛定谔方程,势场中的一维含时薛定谔方程,2.三维势场中粒子的薛定谔方程,薛定谔方程：,即,拉普拉斯算符,写为,引入哈密顿算符:,薛定谔方程普遍形式,（1）薛定谔方程是一个
3、复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。,（2）薛定谔方程的解满足态叠加原理,说明,（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。,（1）薛定谔方程是一个复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。,（2）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,因为薛定谔方程是线性偏微分方程。,（4）它是非相对论形式的方程。,说明,微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的问题-定态问题。,自由运动的粒子U = 0,氢原子中的电子,采用分离变量法,例如：,(三)、定态薛定谔方程,当粒子在 势场中运动时,则哈密顿量,不显含时间,将
4、波函数写成,（不含时的薛定谔方程）,将波函数写成,代入薛定谔方程,得,左右两边同除,得,令E,上式 左边是 t 的函数右边是,的函数,且两变量相互独立,两边必须等于同一个常量时才成立,得,令E,得到两个独立的方程:,(1) (2),E 具有能量的量纲 代表粒子的能量,物理上的主要任务是解方程(2),定态薛定谔方程：,讨论:,2.只有某些 E 值对应的解才是物理上可接受的- 本征值。,3.本征值对应的解称为体系能量的本征函数。,1.定态薛定谔方程也称能量的本征方程。,能量算符（哈密顿算符）,若定态薛定谔方程已解出为：,则粒子的波函数：,或写成,则粒子的波函数：,或写成,4.定态：能量取确定值的状
5、态又指粒子在空间的概率密度不随时间变化的状态,即,与时间无关,势垒贯穿,线性谐振子,一维无限深势阱中运动的粒子,二.定态薛定谔方程的 应用,1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数 2.代入定态薛定谔方程 3.解出能量本征值和相应的本征函数 4.求出概率密度分布、能级分布，讨论其物理意义,量子力学解题的一般思路,定态薛定谔方程,一维无限深方势阱的粒子,定态薛定谔方程应用之一-,一维无限深方势阱,粒子在势阱内势能为零 受力为零 在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外,若是经典粒子，粒子如何运动？,E 可取任意值，且各处出现的 概率一样,特点：,薛定谔方程和波函数：
6、,0,定态薛定谔方程:阱外：,阱内：,势函数:,0,根据波函数有限的条件 阱外,1)阱外,分区求通解:,2)阱内,方程变为,通解,式中 A 和 B 是待定常数,此解需满足标准化条件：即在 x = 0和 x = a 是连续的.,由于在边界外 , = 0 ，所以有,解的形式为,通解,式中 A 和 B 是待定常数,A已经为零了 B不能再为零了 即,只能sin ka 等于零,要求,A已经为零了 B不能再为零了 即,只能sin ka 等于零,要求,能量可能值,能量本征函数,每个可能的值叫能量本征值(能级）,为求出 B 的值，利用波函数的归一化条件,能量量子化并不是强行假设, 而是方程求解 的自然结果,为
7、求出 B 的值，利用波函数的归一化条件,得,归一化波函数的空间部分,全部波函数则为,能量最小值：,波粒二象性的必然结果！,讨论：,(1) 能级和能级间隔 束缚在势阱内的粒子的能量只能取离散值En -能量是量子化的 n是量子数，En是能量本征值，又称能级.,激发态,（阱内）,零点能,能级间隔：,En随量子数n的增加而增加，随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。,宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。,当 能级分布可视为连续的。,(2). 概率分布,势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。,当 n 时过渡到经典力学,当 n 很大时，势阱内各处粒子 出现的概率可以说是几乎相同的。,在
8、大量子数的极限情况下，量子体系行为将趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”(玻尔）。,粒子动量大小:,德布罗意波长：,波长取值与两端固定弦中产生驻波的情况相似。 德布罗意波具有驻波的形式（势阱边界为波节）。,左行波,右行波,势阱中粒子波函数可看作物质波在势阱中产生的驻波,（3）势阱中粒子波函数可看作物质波在势阱中产生的驻波,一 维 无 限 深 势 阱 中,粒 子 的 波 函 数,除 x=0, x=a ,基态无节点. 第一激发态有一个节点, k 激发态有 k=n-1节点.,1.粒子进入势垒,设有一微观粒子，质量为m能量为E。 U(x)与时间无关，满足：, 势函数,入射能量 E ,I 区（x 0）
9、：,II 区（x 0）：,0,（E U ,是波动解）,（E U ,是?解）,考虑当x 时 2(x) 应有限所以 D = 0,入射波,反射波,透射波,（E U ,是波动解）,（E U ,是衰减解）,本征波函数, 概率密度（II 区）,可见在（E U0）的区域粒子出现的概率 0,U0、x 透入的概率 ,按经典力学粒子不可能在 区(Ea后， 不再反射，因而,根据在 x=0 和 x=a 处， 和d/dx 连续性条件及归一条件，可求得其它 5个积分常数。,区,区,区,隧道效应-,隧道效应- 在粒子总能量低于势垒壁高（E U0,经典量子,隧道效应,隧道效应的应用,隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，,核
10、的 衰变,对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。,势垒高度, 粒子怎么过去的呢? 通过隧道效应出来的,扫描隧道显微镜（STM）,STM是一项技术上的重大发明，用于观察,原理：利用量子力学的隧道效应,1986年的诺贝尔物理奖获奖者：,鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明电子显微镜,宾尼（G.Binning）,罗雷尔（Rohrer）,发明STM(1982),表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。,(Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。,A 常量, 样品表面平均势垒高度（ eV）,d 变 i 变，反映表面情况。,E,竖直分辨本领可达约
11、10 2 nm；,d 变 0.1nm i 变几十倍，非常灵敏。,横向分辨本领与探针,样品材料及绝缘物有关，,在真空中可达 0. 2 nm。,用STM得到的神经细胞象,硅表面STM扫描图象,镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片,Fe原子间距：0.95 nm，,圆圈平均半径：7.13 nm,形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,1993年5月IBM的科学家将单层的Fe原子蒸发到Cu(111)表面，然后用STM针将48个铁原子排成圆圈，,谐振子不仅是经典物理的重要模型， 而且也是量子物理的重要模型。,如：,黑体辐射.,分子振动，,晶格点阵振动,1.势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点以坐
12、标原点为零势能点则线性谐振子的势能为：,m 是粒子的质量 k 是谐振子的等效劲度系数,是谐振子的角频率,定态薛定谔方程应用之三- 线性谐振子,2. 薛定谔方程及解, 二阶变系数常微分方程,可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足标准条件（连续、有限、单值）,求解超出本课程的范围。结论：,(1)能量特点,n = 0, 1, 2, ,量子化，等间隔：,（与黑体辐射理论同）,n = 0, 1, 2, ,符合不确定关系,有零点能：,当n 时，,符合玻尔对应原理。,能量量子化能量连续,量子化，等间距：,（与黑体辐射理论同）,（2）波函数,线性谐振子定态波函数为,其中,为厄米多项式，,则称波函数具有偶宇称，并以宇称量子数 +1 作为标记。,波函数的宇称简介,（1）若,（2）若,则称波函数具有奇宇称，并以宇称量子数 -1 作为标记。,
