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1、第二章第二章 塞瓦定理及应用塞瓦定理及应用【基础知识】 塞瓦定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若，ABCABCBCCAABAABB三线平行或共点，则CC1BACBAC A CB AC B证明 如图 2-1（） 、 （ ） ，若，交于一点，则过作的平行线，分别交，bcAABBCCPABCBB的延长线于，得CCDE,CBBCACEA B AADC BBCAB C ABCPPCBAABCDECBAABCDE(c)(b)(a)图 21又由，有BAA PA C ADPAEABAAD A CEA从而1BACBACADBCEA A CB AC BEAADBC若，三线平行，可类似证明（略） AABBC
2、C注 （1）对于图 2-1（） 、 （ ）也有如下面积证法：bc由：，即证1PABPBCPCAPCAPABPBCSSSBACBAC A CB AC BSSS （2）点常称为塞瓦点P （3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理 如图 2-1（） 、 （ ） ，分别对及截线，对及截线应用梅涅劳斯定理有 bcABAC PC AA CB PB，1BCA PAC CAPAC B1A B CBAP BCB APA上述两式相乘，得1BACBAC A CB AC B其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理 如图 2-2，设，分别为的三边，所在直线上的点，且
3、，三ABCABCBCCAABABC点共线令直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点BBCCXC CAAYAABBZCBAABCXYZXYZCBAABC图 22分别视点，为塞瓦点，应用塞瓦定理，即CABCAB对及点（直线，的交点） ，有BCBCBACXB A 1BACAB X A CABXB对及点（直线，的交点） ，有CACACBAYC B 1CBABC Y B CBCYC对及点（直线，的交点） ，有ABABACBZA C 1ACBCA Z C BCAZA对及点（直线，的交点） ，有BBCCBAB AC X 1BXB AC A XBA CAB 对及点（直线，的交点） ，有CC A ACBC B
4、A Y1CYC BA B YCB ABC 对及点（直线，的交点） ，有AA B BACA CB Z 1AZA CB C ZAC BCA 上述六式相乘，有2 1BACBAC A CB AC B故1BACBAC A CB AC B塞瓦定理的逆定理 设，分别是的三边，或其延长线上的点，若ABCABCBCCAAB，1BACBAC A CB AC B则，三直线共点或三直线互相平行AABBCC证明若与交于点，设与的交点为，则由塞瓦定理，有AABBPCPAB1C，又已知有，由此得，即，亦即111ACBACB A CB AC B111ACBACB A CB AC B11ACAC C BC B1ACAC ABA
5、B，故与重合，从而，三线共点1ACAC1CCAABBCC若，则代入已知条件，有，由此知，故AABBCBCB B ABAACA C C BCBCCAAAABBCC 上述两定理可合写为：设，分别是的，所在直线上的点，则三直线ABCABCBCCAAB，平行或共点的充要条件是AABBCC1BACBAC A CB AC B第一角元形式的塞瓦定理 设，分别是的三边，所在直线上的点，ABCABCBCCAAB则三直线，平行或共点的充要条件是AABBCCsinsinsin1sinsinsinBAAACCCBB A ACC CBB BA 证明 由，三式相乘，sin sinABAAA CSBAABBAA A CSA
6、CA AC sin sinCBBCCBB B AABB BA sin sinACACACC C BBCC CB 再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立 第二角元形的塞瓦定理 设，分别的三边，所在直线上的点，是ABCABCBCCAABO 不在的三边所在直线上的点，则，平行或共点的充要条件是ABCAABBCCsinsinsin1sinsinsinBOAAOCCOB A OCC OBB OA 证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有1BOACOBAOCA OCB OAC OBSSSBACBAC A CB AC BSSSsinsinsin sinsinsinBOBOACOCOBAOAOC COA OCAOB
7、OABOC OB 由此即证得结论 注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则、式的右端仍为 1特别要注 意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上、式中的角 也可按式的对应线段记忆推论 设，分别是的外接圆三段弧，上的点，则，1A1B1CABCABCACAAAB1AA1BB共点的充要条件是1CC1111111BACBAC ACB A C B证明 如图 2-3，设的外接圆半径为，交于，交于，交ABCR1AABCA1BBCAB1CC于由，六点共圆及正弦定理，ABCA1CB1AC1B有11112sinsin 2sinsinBARBAABAA ACRA ACA AC A
8、1B1C1CBAABC图 23同理，11sin sinCBCBB B AB BA 11sin sinACACC C BC CB 三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证 为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图 2-4 中的点、，将其作为塞瓦点，ABCDEF我们写出如下式子：HGFEDCBA图 24对及点有 ，ACED1AB CGEF BCGEFA对及点有 ，CDEA1CFDBEG FDBEGC对及点有 ，ADEC1DGAFEB GAFEBD对及点有 ，ABDF1ACBEDH CBEDHA对及点有 ， ACDE1AGDFCB GDFCBA对及点有 ，ADFB1AHDCFE HDCFEA对及点有
9、，ABFD1BCAEFH CAEFHB对及点有 BDFA1BEDCFH EDCFHB【典型例题与基本方法】 1恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键 例 1 四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行证明：另一条对角 线的延长线平分对边交点连线的线段（1978 年全国高中竞赛题） 证明 如图 2-5，四边形的两组对边延长分别交于，对角线，的延长线交ABCDEFBDEFAC 于EFGGFEDCBA图 25对及点，应用塞瓦定理，有AEFC1EGFDAB GFDABE由，有，代入上式，BDEFABAD BEDF得，即命题获证1EG GFEGGF例 2 如图 2
10、-6，锐角中，是边上的高，是线段内任一点，和的延长ABCADBCHADBHCH 线分别交，于，求证：（1994 年加拿大奥林匹克试题）ACABEFEDHFDHOPHF EDCBA图 26证法 1 对及点，应用塞瓦定理，有ABCH1AFBDCE FBDCEA过作，延长，分别交于，则，且，APQBCDFDEPQPQDAPQAPF BDF，从而AQECDE，AFPABDFBEAAQDCCE而由，有，故AFEABDDCFBCEPAAQ由此知为等腰底边上的高，故ADAPQPQEDHFDH证法 2 对及点应用塞瓦定理，有ABCH1DAFDCEDFBDEASSAFBDCEBD FBDCEASDCSsinsi
11、ntancotsinsinADADFBDDCEDCADFADEBDFDBDCADADE即，由锐角性质知类似地，对及截线或对tantanADEADFEDAFDAABEFHC 及截线应用梅涅劳斯定理也可证得有AFCBHEEDAFDA 注 将此例中的平角变为钝角，则有如下：BDC 例 3 如图 2-7，在四边形中，对角线平分在上取一点，与相交于ABCDACBADCDEBEAC ，延长交于求证：FDFBCGGACEAC （1999 年全国高中联赛题）JIHG FEDCBA图 27证明 连交于，对及点，应用塞瓦定理，有BDACHBCDF1CGBHDE GBHDEC平分，由角平分线性质，可得AHBAD，故
12、BHAB HDAD1CGABDE GBADEC过点作的平行线交的延长线于，过点作的平行线交的延长线于，则CABAGICADAEJ所以,CGCIDEAD GBABECCJ1CIABAD ABADCJ从而，CICJ 又，有CIABCJAD180180ACIBACDACACJ 因此，即有ACIACJIACJAC 故 GACEAC 注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第 4、5 及 19 题 例 4 如图 2-8，是的中线，在上，分别延长，交，于，过BEABCGBEAGCGBCABDF 作交于，及为正三角形求证：为正三角形DDNCGBGNDGLFGMLMNMLNGFEDCBA图 28证明 连，对及点
13、应用塞瓦定理，有NFABCG而，则1AFBDCE FBDCEAAECEAFDC FBBD由，由DNCGCDNG BDBN于是，有，从而，即知四边形为平行四边形，有AFNG FBBNFNADDNFGGDNGFN又，则60GDLGFMLDNNFM 而，知，有，于是DNGFFMDLDGNFLDN NFMLNMNDNLNMF MNLDNFDNLMNFDNFNMFMNF（）（）180)(180)NFGNFMNFMNFG=(60MFG 故为正三角形LMN 例 5 如图 2-9，在一个中，为内满足及的一ABC2CBPABCAPACPBPC 点求证：是的三等分线（1994 年香港代表队选拔APAIMO 赛题）2BB2(2B) B2CBAP图 29证明 用表示的度量，令，则，BABCPCBPBCABPB2ACPB（其中注意） ， 2 2CAPBAPAC2(2)PABACAPBCB(3 )(42 )2BBB对及点，应用第一角元形式的塞瓦定理，有ABCPsin2(2)sinsin()1
